Komplementärereignis
Dieser Beitrag beschäftigt sich mit dem Komplementärereignis:
- Was ist mit Begriffen das Komplement eines Ereignisses?
- Wie berechnet man das Komplement?
- Wie stellt man das Komplementärereignis als Venn Diagramm dar?
Es ist hilfreich, wenn du bereits über Zufallsexperiment, Ereignisraum und Zufallsvariable Bescheid weißt.
Definition
Wie der Name schon sagt, ist das Komplementärereignis zu einem Ereignis \(A\) intuitiv gesprochen nichts anderes als das Gegenteil von \(\mathbf{A}\). Üblicherweise wird es als \(A^c\) oder als \(\bar{A}\) geschrieben. Definieren wir Ereignis das Ereignis \(A\) als das Würfeln einer geraden Zahl, dann wäre A somit \(2\), \(4\) und \(6\) und das Komplement, also das Genteil davon wäre eine ungerade Zuahl zu werfen. Somit wäre \(\bar{A}\) (A Komplement gesprochen) dann die Zahlen \(1\), \(3\) und \(5\).
Formal bedeutet das: Für \(A = \{2,4,6\}\) ist \(A^c = \{1,3,5\}\).
Einfach gesagt ist \(\bar{A}\) jenes Ereignis, das genau alle Elemente enthält, die nicht im Ereignis \(A\) vorkommen. Wichtig sind Komplementärereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem wegen der Eigenschaft der Gegenwahrscheinlichkeit: Für jedes Ereignis \(A\) gilt
$$P(\bar{A}) = 1-P(A).$$
Die Eigenschaft der Gegenwahrscheinlichkeit folg direkt aus den beiden Axiomen der Normiertheit und Additivität.
Beispiel
Sehen wir uns wieder einen Würfel an. Wir betrachten nun alle Zahlen bei einem Würfel, die durch 3 teilbar sind. Somit ist \(A =\) „Augenzahl ist durch \(3\) teilbar“. Die Zahlen \(3\) und \(6\) sind durch 3 teilbar und somit ist \(A = \{3,6\}\). Das Komplementärereignis \bar{A}\ entspricht somit allen Zahlen, die nicht durch \(3\) teilbar sind – also den Zahlen \(1\), \(2\), \(4\) und \(5\) und lässt sich aufschreiben als \(\bar{A} = \{1,2,4,5\}\).
Die Wahrscheinlichkeit für A könnt ihr einfach mit der Wahrscheinlichkeit nach Laplace ermitteln. \(2\) von \(6\) möglichen Ergebnissen sind durch \(3\) teilbar und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P(A)= \frac{2}{6}\).
Wollen wir nun die Gegenwahrscheinlichkeit, also \(\bar{A}\) ermitteln, können wir das mit der oben genannten Formel machen:
$$P(\bar{A}) = 1-P(A) = 1-\frac{2}{6} = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Komplementärereignis eintritt, wir also eine Zahl werfen, die nicht durch \(3\) teilbar ist beträgt \(\frac{2}{3}\).
Venn Diagramm
In einem Venn-Diagramm ist das Komplementärerignis \(\bar{A}\) nichts anderes als der gesamte dargestellte Bereich abgesehen von \(A\):
Du willst mehr zum Thema wissen – sieh dir gerne das Video zu den Axiomen von Kolmogorov an:
Komplementärereignis
Dieser Beitrag beschäftigt sich mit dem Komplementärereignis:
- Was ist mit Begriffen das Komplement eines Ereignisses?
- Wie berechnet man das Komplement?
- Wie stellt man das Komplementärereignis als Venn Diagramm dar?
Es ist hilfreich, wenn du bereits über Zufallsexperiment, Ereignisraum und Zufallsvariable Bescheid weißt.
Definition
Wie der Name schon sagt, ist das Komplementärereignis zu einem Ereignis \(A\) intuitiv gesprochen nichts anderes als das Gegenteil von \(\mathbf{A}\). Üblicherweise wird es als \(A^c\) oder als \(\bar{A}\) geschrieben. Definieren wir Ereignis das Ereignis \(A\) als das Würfeln einer geraden Zahl, dann wäre A somit \(2\), \(4\) und \(6\) und das Komplement, also das Genteil davon wäre eine ungerade Zuahl zu werfen. Somit wäre \(\bar{A}\) (A Komplement gesprochen) dann die Zahlen \(1\), \(3\) und \(5\).
Formal bedeutet das: Für \(A = \{2,4,6\}\) ist \(A^c = \{1,3,5\}\).
Einfach gesagt ist \(\bar{A}\) jenes Ereignis, das genau alle Elemente enthält, die nicht im Ereignis \(A\) vorkommen. Wichtig sind Komplementärereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem wegen der Eigenschaft der Gegenwahrscheinlichkeit: Für jedes Ereignis \(A\) gilt
$$P(\bar{A}) = 1-P(A).$$
Die Eigenschaft der Gegenwahrscheinlichkeit folg direkt aus den beiden Axiomen der Normiertheit und Additivität.
Beispiel
Sehen wir uns wieder einen Würfel an. Wir betrachten nun alle Zahlen bei einem Würfel, die durch 3 teilbar sind. Somit ist \(A =\) „Augenzahl ist durch \(3\) teilbar“. Die Zahlen \(3\) und \(6\) sind durch 3 teilbar und somit ist \(A = \{3,6\}\). Das Komplementärereignis \bar{A}\ entspricht somit allen Zahlen, die nicht durch \(3\) teilbar sind – also den Zahlen \(1\), \(2\), \(4\) und \(5\) und lässt sich aufschreiben als \(\bar{A} = \{1,2,4,5\}\).
Die Wahrscheinlichkeit für A könnt ihr einfach mit der Wahrscheinlichkeit nach Laplace ermitteln. \(2\) von \(6\) möglichen Ergebnissen sind durch \(3\) teilbar und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P(A)= \frac{2}{6}\).
Wollen wir nun die Gegenwahrscheinlichkeit, also \(\bar{A}\) ermitteln, können wir das mit der oben genannten Formel machen:
$$P(\bar{A}) = 1-P(A) = 1-\frac{2}{6} = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Komplementärereignis eintritt, wir also eine Zahl werfen, die nicht durch \(3\) teilbar ist beträgt \(\frac{2}{3}\).
Venn Diagramm
In einem Venn-Diagramm ist das Komplementärerignis \(\bar{A}\) nichts anderes als der gesamte dargestellte Bereich abgesehen von \(A\):
Du willst mehr zum Thema wissen – sieh dir gerne das Video zu den Axiomen von Kolmogorov an: