Binomialverteilung – Berechnung per Hand
Hier lernt ihr alles Nötige zur Binomialverteilung.
- Berechnung per Hand
- Berechnung Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
Die Beiträge zu Kombinatorik, Laplace-Wahrscheinlichkeit und diskreten Zufallsvariablen sind hier hilfreich für ein besseres Verständnis.
Beispiel Glücksrad
Wir drehen an diesem Glücksrad. Wenn das Rad bei einem Statistikquelle-Logo stehen bleibt, haben wir gewonnen. Bei einem grünen Feld handelt es sich um eine Niete. Jedes der Felder hat dieselbe Größe. Wir drehen das Rad insgesamt 8-mal und wollen nun die folgenden Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
a) genau 3-mal gewinnen
b) höchstens 2-mal gewinnen
c) mehr als 5-mal gewinnen
d) weniger als 7-mal gewinnen
e) mindestens 3-mal gewinnen
Zuerst definieren wir unsere Zufallsvariable X.
X … Pfeil landet auf Statistikquelle-Logo
4 der 10 Felder haben ein Logo, somit beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0.4. Wir wiederholen den Versuch 8-mal. Somit ist n=8.
a) Wir wollen \(P(X=3)\) bestimmen. Jetzt setzen wir alles inkl. (k = 3) in die Formel ein.
$$P(X = 3) = {8 \choose 3} \cdot 0.4^{3} \cdot 0.6^{5} = 0.2787$$
b) Wir wollen \(P(X \leq 2)\) bestimmen. Weniger oder genau 2 Gewinne bedeutet 0, 1 oder 2 Gewinne und somit müssen wir \(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\) berechnen.
$$P(X \leq 2) = {8 \choose 0} \cdot 0.4^{0} \cdot 0.6^{8} + {8 \choose 1} \cdot 0.4^{1} \cdot 0.6^{7} +{8 \choose 2} \cdot 0.4^{2} \cdot 0.6^{6} = 0.0168 + 0.0896 + 0.2090 = 0.3154$$
c) Wir wollen \(P(X > 5)\) bestimmen. Wir berechnen wieder alle Wahrscheinlichkeiten einzeln und addieren dann.
$$P(X > 5) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = 0.0498$$
d) Hier wollen wir \(P(X < 7)\) berechnen. Dafür müssten wir 6 Wahrscheinlichkeiten aufaddieren. In diesem Fall ist es einfacher, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu arbeiten. Die Gegenwahrscheinlichkeit ist hier \(1 – P(X \geq 7)\).
Wichtig ist hier, dass die Gegenwahrscheinlichkeit alle Ereignisse einbezieht, die nicht Teil des Originalereignisses sind. D. h. hier \(\geq\) nicht \(>\)
$$P(X <7) = 1- P(X \geq 7) = 1- (P(X = 7)+P(X=8)) = 0.9915$$
e) Als Letztes wollen wir \(P(X \geq 3)\) berechnen. Auch hier arbeiten wir wieder mit der Gegenwahrscheinlichkeit.
$$P(X \geq 3) = 1 – P(X < 3) = 1- (P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)) = 0.6846$$
Erwartungswert und Varianz
Der Erwartungswert der Binomialverteilung und die Varianz schauen so aus:
$$\mathbb{E}(X) = np \qquad \mathbb{V}ar(X) = np(1-p)$$
In unserem Glücksradbeispiel sieht das so aus
$$\mathbb{E}(X) = np = 8 \cdot 0.4 = 3.2 \qquad \mathbb{V}ar(X) = np(1-p) = 3.2 \cdot 0.6 = 1.92$$
Die Standardabweichung erhalten wir natürlich, indem wir die Wurzel aus der Varianz ziehen. Diese \( \sqrt{\mathbb{V}ar(X) }=1.39\).
Der Erwartungswert bedeutet: Wenn wir das Glücksrad oft genug drehen, gewinnen wir im Schnitt 3.2-mal. Die Standardabweichung sagt uns, dass die durchschnittliche Abweichung 1.39 beträgt.
Binomialverteilung – Berechnung per Hand
Hier lernt ihr alles Nötige zur Binomialverteilung.
- Berechnung per Hand
- Berechnung Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
Die Beiträge zu Kombinatorik, Laplace-Wahrscheinlichkeit und diskreten Zufallsvariablen sind hier hilfreich für ein besseres Verständnis.
Beispiel Glücksrad
Wir drehen an diesem Glücksrad. Wenn das Rad bei einem Statistikquelle-Logo stehen bleibt, haben wir gewonnen. Bei einem grünen Feld handelt es sich um eine Niete. Jedes der Felder hat dieselbe Größe. Wir drehen das Rad insgesamt 8-mal und wollen nun die folgenden Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
a) genau 3-mal gewinnen
b) höchstens 2-mal gewinnen
c) mehr als 5-mal gewinnen
d) weniger als 7-mal gewinnen
e) mindestens 3-mal gewinnen
Zuerst definieren wir unsere Zufallsvariable X.
X … Pfeil landet auf Statistikquelle-Logo
4 der 10 Felder haben ein Logo, somit beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0.4. Wir wiederholen den Versuch 8-mal. Somit ist n=8.
a) Wir wollen \(P(X=3)\) bestimmen. Jetzt setzen wir alles inkl. (k = 3) in die Formel ein.
$$P(X = 3) = {8 \choose 3} \cdot 0.4^{3} \cdot 0.6^{5} = 0.2787$$
b) Wir wollen \(P(X \leq 2)\) bestimmen. Weniger oder genau 2 Gewinne bedeutet 0, 1 oder 2 Gewinne und somit müssen wir \(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\) berechnen.
$$P(X \leq 2) = {8 \choose 0} \cdot 0.4^{0} \cdot 0.6^{8} + {8 \choose 1} \cdot 0.4^{1} \cdot 0.6^{7} +{8 \choose 2} \cdot 0.4^{2} \cdot 0.6^{6} = 0.0168 + 0.0896 + 0.2090 = 0.3154$$
c) Wir wollen \(P(X > 5)\) bestimmen. Wir berechnen wieder alle Wahrscheinlichkeiten einzeln und addieren dann.
$$P(X > 5) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = 0.0498$$
d) Hier wollen wir \(P(X < 7)\) berechnen. Dafür müssten wir 6 Wahrscheinlichkeiten aufaddieren. In diesem Fall ist es einfacher, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu arbeiten. Die Gegenwahrscheinlichkeit ist hier \(1 – P(X \geq 7)\).
Wichtig ist hier, dass die Gegenwahrscheinlichkeit alle Ereignisse einbezieht, die nicht Teil des Originalereignisses sind. D. h. hier \(\geq\) nicht \(>\)
$$P(X <7) = 1- P(X \geq 7) = 1- (P(X = 7)+P(X=8)) = 0.9915$$
e) Als Letztes wollen wir \(P(X \geq 3)\) berechnen. Auch hier arbeiten wir wieder mit der Gegenwahrscheinlichkeit.
$$P(X \geq 3) = 1 – P(X < 3) = 1- (P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)) = 0.6846$$
Erwartungswert und Varianz
Der Erwartungswert der Binomialverteilung und die Varianz schauen so aus:
$$\mathbb{E}(X) = np \qquad \mathbb{V}ar(X) = np(1-p)$$
In unserem Glücksradbeispiel sieht das so aus
$$\mathbb{E}(X) = np = 8 \cdot 0.4 = 3.2 \qquad \mathbb{V}ar(X) = np(1-p) = 3.2 \cdot 0.6 = 1.92$$
Die Standardabweichung erhalten wir natürlich, indem wir die Wurzel aus der Varianz ziehen. Diese \( \sqrt{\mathbb{V}ar(X) }=1.39\).
Der Erwartungswert bedeutet: Wenn wir das Glücksrad oft genug drehen, gewinnen wir im Schnitt 3.2-mal. Die Standardabweichung sagt uns, dass die durchschnittliche Abweichung 1.39 beträgt.