Augensumme 2er Würfel – Laplace
In diesem Beitrag geht es erneut um die Laplace Wahrscheinlichkeit. Diesmal anhand des Beispiels der Augensumme 2er Würfel.
Wir gehen die Aufgabe Punkt für Punkt durch und
- zeigen mehrere Möglichkeiten, wie man das lösen kann
- stellen die Wahrscheinlichkeitsfunktion tabellarisch und graphisch auf
- lernen einen einfachen Trick zur Berechnung solcher Aufgaben
Bei Aufgaben zur Augensumme 2er Würfel hilft euch das Vorwissen aus unserem Beitrag zur Wahrscheinlichkeit nach Laplace an, weil hier die Grundlagen nur sehr kurz angesprochen werden.
Grundlegendes
Das Beispiel der Augensumme 2er Würfel ist eine Aufgabe, die in fast jeder Übung zur Laplace Wahrscheinlichkeit einmal vorkommt. Hier sind 2 Würfel gegeben und wir wollen die Wahrscheinlichkeiten für die Augensumme bestimmen. Unsere Zufallsvariable A ist somit die Augensumme dieser Würfel.
$$A… \text{Augensumme 2er Würfel}$$
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass wir eine Augenzahl von
a) genau vier
b) mindestens 9
c) höchstens 10 werfen.
Ihr könnt so eine Aufgabe auf viele Arten lösen. Ich zeige euch mehrere Varianten und diese Ideen und Ansätze können euch auch für andere Aufgabenstellungen hilfreich sein.
Schnelle Wiederholung:
Die Laplace Wahrscheinlichkeit haben wir verkürzt definiert als günstige durch mögliche Fälle.
Man kann das formeller auch wie folgt aufschreiben:
Dabei werden die Betragsstriche hier als Mächtigkeit bezeichnet und stellen die Anzahl der Elemente einer Menge dar.
Berechnung
Zuerst bestimmen wir alle möglichen Werte unserer Zufallsvariable \(A\). Diese Menge für alle möglichen Ereignisse heißt \(\Omega\). Wenn wir 2 Würfel werfen können wir zum Beispiel zwei Mal eine 1 werfen, eine 1 und eine 2, eine 1 und eine 3 und so weiter. Wir können so alle Ergebnisse aufschreiben, bis wir bei 6 und 6 angekommen sind. Insgesamt erhalten wir dann 36 Paare.
$$\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$$
Man sieht, es gibt 36 mögliche Würfelwürfe. Mithilfe von Kombinatorik kommt man schneller zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Hier rechnet man dafür \(n^ k\).
$$|\Omega| = n^k = 3^6 = 36$$
Die 2 Würfel landen mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jedem einzelnen dieser Ereignisse und somit dürfen wir die Wahrscheinlichkeit nach Laplace hier verwenden.
Variante 1: Wir zählen alle Möglichkeiten ab
a) Um die Augensumme 4 zu erhalten können wir entweder eine 1 und eine 3 werfen oder eine 3 und eine 1 und außerdem kann man noch zwei 2er werfen.
$$A = 4 \Rightarrow \{(1,3);(3,1);(2,2)\} \quad \text{und} \quad |A=4| = 3$$
Eine Augensumme von 4 erhalten wir also bei 3 verschiedenen Variationen. Bei insgesamt 36 möglichen Ereignissen können wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme gleich 3 ist mit „Günstige durch Mögliche“ bestimmen.
$$P(A=4) = \frac{3}{36} = 0.083$$
b) Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass wir mindestens 9 als Augensumme haben, überlegen wir uns, aus welchen Würfelwürfen dieses Eregnis besteht. Mindestens bedeutet größer gleich. Somit berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass A größer gleich 9 ist. Das wären die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von 9 bis 12 aufsummiert. (Da die Summe 2er Würfel nicht größer als 12 sein kann)
$$P(A\geq 9) = P(A=9) + P(A=10) + P(A=11) + P(A=12) $$
Mit der gleichen Logik wie in a) bestimmen wir jetzt diese Wahrscheinlichkeiten, um sie aufzusummieren.
$$A = 9 \Rightarrow \{(4,5);(5,4);(3,6);(6,3)\} \quad \text{und} \quad |A=9| = 4 \Rightarrow P(A=9) = \frac{4}{36}$$
$$A = 10 \Rightarrow \{(4,6);(6,4);(5,5)\} \quad \text{und} \quad |A=10| = 3 \Rightarrow P(A=10) = \frac{3}{36}$$
$$A = 11 \Rightarrow \{(5,6);(6,5)\} \quad \text{und} \quad |A=11| = 2 \Rightarrow P(A=11) = \frac{2}{36}$$
$$A = 12 \Rightarrow \{(5,6)\} \quad \text{und} \quad |A=12| = 1 \Rightarrow P(A=11) = \frac{1}{36}$$
Jetzt sehen wir
$$P(A\geq 9) = \frac{4}{36} +\frac{3}{36} +\frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{10}{36} = 0.278$$
c) Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, höchsten eine Summe von 10 zu würfeln, muss dieses Ereigniss wieder heruntergebrochen werden. Hier wären also alle Augensummen von 2 bis 10 Teil des Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeiten all dieser Teilereignisse auszurechnen wäre etwas aufwändig, deswegen ist es in so einem Fall immer besser mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu arbeiten.
$$P(A\leq 10) = 1 – P(A > 10) = 1 – \left( P(A=11) + P(A=12) \right)$$
Diese Wahrscheinlichkeiten haben wir in b) schon ausgerechnet daher
$$P(A\leq 10) = 1 – \left( \frac{2}{36}+\frac{1}{36} \right) = \frac{33}{36} = 0.917$$
Variante 2: Wahrscheinlichkeitsfunktion aufstellen
Wir erstellen eine Tabelle, wo in der oberen Zeile unsere Werte hinkommen und in der unteren die respektiven Wahrscheinlichkeiten. Das heißt oben haben wir unsere Augensummen von 2 bis 12 und unten müssen wir für jede Augensumme die Wahrscheinlichkeit berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 2 ist, wäre \(\frac{1}{36}\), weil nur durch zwei 1er dieses Ereigniss eintriff kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 3 ist, wäre \(\frac{2}{36}\) und das macht man für alle weiteren Augensummen.
Wenn man alle Wahrscheinlichkeiten zusammenzählt muss insgesamt \(\frac{36}{36}\) bzw. 1 rauskommen. So schaut die Wahrscheinlichkeitsfunktion graphisch aus:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion aufzustellen ist anfangs etwas aufwändiger, aber dafür geht es danach schneller. Wir können jetzt nämlich unsere Wahrscheinlichkeiten von vorhin deutlich schneller ermitteln, indem wir sie einfach aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion ablesen.
a) $$P(A=4) = \frac{3}{36} = 0.083$$
b) $$P(A\geq 9) = \frac{4}{36} +\frac{3}{36} +\frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{10}{36} = 0.278$$
c) $$P(A\leq 10) = 1 – \left( \frac{2}{36}+\frac{1}{36} \right) = \frac{33}{36} = 0.917$$
Variante 3: Raster mit Augensummen erstellen
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, euch ein Raster mit den Zahlen jeweils von 1 bis 6 aufzuzeichnen. Diese stellen die 2 Würfel dar. Um das Raster zu fülllen, könnt ihr jeweils die Randzahlen miteinander addieren. Also \(1 + 1 = 2\), \(1 + 2 = 3\), \(1 + 3 = 4\) usw. Das macht ihr für alle 36 Felder damit das Raster ganz ausgefüllt ist.
Der Vorteil besteht darin, dass ihr jetzt auch wieder ganz einfach die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bestimmen könnt. Ihr müsst einfach die entsprechenden Felder zählen.
a) Wir zählen, wie viele Fleder die gewünschte Augensumme 4 enthalten.
Wir finden 3 Felder um bekommen wieder die Rechnung:
$$P(A=4) = \frac{3}{36} = 0.083$$
b) Wir zählen alle Felder, die eine Augensumme von 9 oder höher haben.
Wir finden 10 Felder um bekommen wieder die Rechnung:
$$P(A\geq 9) = \frac{10}{36} = 0.278$$
c) Hier hat man 2 Möglichkeiten.
Entweder man zählt alle Felder, die kleiner oder gleich 10 sind und bekommt…
$$P(A\leq 10) = \frac{33}{36} = 0.917$$
… oder man arbeitet wieder mit der Gegenwahrscheinlichkeit und zählt nur die Felder, die größer als 10 sind und zieht sie von 1 ab.
$$P(A\leq 10) = 1 – P(A > 10) = 1- \frac{3}{36} = \frac{33}{36} = 0.917$$
Diese Variante ist am einfachsten zu rechnen, da sie vor allem auch bei anderen Arten von Würfeln gut funktioniert. Ihr werdet vielleicht auch Aufgaben sehen, in denen unterschiedliche Würfel vorkommen. Zum Beispiel diese beiden hier:
Wir haben auf einem Würfel drei 1er, zwei 2er und einen 3er und beim anderen zwei 1er, zwei 2er, einen 3er und einen 4er.
Wenn wir hier wieder die Augensumme bestimmen wollen, ist es deutlich einfacher sich so ein Raster zu zeichnen als sich alle möglichen Kombinationen zu überlegen. Unter anderem auch ganz einfach deswegen, weil wir so eine Art von Würfel nicht gewöhnt sind. Das Raster würde dann einfach so ausschauen
Dieser Beitrag soll euch einfach einen Überblick über mehrere Möglichkeiten zur Berechnung liefern. Sucht euch die aus, die euch am einfachsten fällt. Ihr könntet zum Beispiel das Raster auch dafür benutzten die Wahrscheinlichkeitsfunktion aufzustellen bzw. zu zeichnen.
Augensumme 2er Würfel – Laplace
In diesem Beitrag geht es erneut um die Laplace Wahrscheinlichkeit. Diesmal anhand des Beispiels der Augensumme 2er Würfel.
Wir gehen die Aufgabe Punkt für Punkt durch und
- zeigen mehrere Möglichkeiten, wie man das lösen kann
- stellen die Wahrscheinlichkeitsfunktion tabellarisch und graphisch auf
- lernen einen einfachen Trick zur Berechnung solcher Aufgaben
Bei Aufgaben zur Augensumme 2er Würfel hilft euch das Vorwissen aus unserem Beitrag zur Wahrscheinlichkeit nach Laplace an, weil hier die Grundlagen nur sehr kurz angesprochen werden.
Grundlegendes
Das Beispiel der Augensumme 2er Würfel ist eine Aufgabe, die in fast jeder Übung zur Laplace Wahrscheinlichkeit einmal vorkommt. Hier sind 2 Würfel gegeben und wir wollen die Wahrscheinlichkeiten für die Augensumme bestimmen. Unsere Zufallsvariable A ist somit die Augensumme dieser Würfel.
$$A… \text{Augensumme 2er Würfel}$$
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass wir eine Augenzahl von
a) genau vier
b) mindestens 9
c) höchstens 10 werfen.
Ihr könnt so eine Aufgabe auf viele Arten lösen. Ich zeige euch mehrere Varianten und diese Ideen und Ansätze können euch auch für andere Aufgabenstellungen hilfreich sein.
Schnelle Wiederholung:
Die Laplace Wahrscheinlichkeit haben wir verkürzt definiert als günstige durch mögliche Fälle.
Man kann das formeller auch wie folgt aufschreiben:
Dabei werden die Betragsstriche hier als Mächtigkeit bezeichnet und stellen die Anzahl der Elemente einer Menge dar.
Berechnung
Zuerst bestimmen wir alle möglichen Werte unserer Zufallsvariable \(A\). Diese Menge für alle möglichen Ereignisse heißt \(\Omega\). Wenn wir 2 Würfel werfen können wir zum Beispiel zwei Mal eine 1 werfen, eine 1 und eine 2, eine 1 und eine 3 und so weiter. Wir können so alle Ergebnisse aufschreiben, bis wir bei 6 und 6 angekommen sind. Insgesamt erhalten wir dann 36 Paare.
$$\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$$
Man sieht, es gibt 36 mögliche Würfelwürfe. Mithilfe von Kombinatorik kommt man schneller zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Hier rechnet man dafür \(n^ k\).
$$|\Omega| = n^k = 3^6 = 36$$
Die 2 Würfel landen mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jedem einzelnen dieser Ereignisse und somit dürfen wir die Wahrscheinlichkeit nach Laplace hier verwenden.
Variante 1: Wir zählen alle Möglichkeiten ab
a) Um die Augensumme 4 zu erhalten können wir entweder eine 1 und eine 3 werfen oder eine 3 und eine 1 und außerdem kann man noch zwei 2er werfen.
$$A = 4 \Rightarrow \{(1,3);(3,1);(2,2)\} \quad \text{und} \quad |A=4| = 3$$
Eine Augensumme von 4 erhalten wir also bei 3 verschiedenen Variationen. Bei insgesamt 36 möglichen Ereignissen können wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme gleich 3 ist mit „Günstige durch Mögliche“ bestimmen.
$$P(A=4) = \frac{3}{36} = 0.083$$
b) Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass wir mindestens 9 als Augensumme haben, überlegen wir uns, aus welchen Würfelwürfen dieses Eregnis besteht. Mindestens bedeutet größer gleich. Somit berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass A größer gleich 9 ist. Das wären die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von 9 bis 12 aufsummiert. (Da die Summe 2er Würfel nicht größer als 12 sein kann)
$$P(A\geq 9) = P(A=9) + P(A=10) + P(A=11) + P(A=12) $$
Mit der gleichen Logik wie in a) bestimmen wir jetzt diese Wahrscheinlichkeiten, um sie aufzusummieren.
$$A = 9 \Rightarrow \{(4,5);(5,4);(3,6);(6,3)\} \quad \text{und} \quad |A=9| = 4 \Rightarrow P(A=9) = \frac{4}{36}$$
$$A = 10 \Rightarrow \{(4,6);(6,4);(5,5)\} \quad \text{und} \quad |A=10| = 3 \Rightarrow P(A=10) = \frac{3}{36}$$
$$A = 11 \Rightarrow \{(5,6);(6,5)\} \quad \text{und} \quad |A=11| = 2 \Rightarrow P(A=11) = \frac{2}{36}$$
$$A = 12 \Rightarrow \{(5,6)\} \quad \text{und} \quad |A=12| = 1 \Rightarrow P(A=11) = \frac{1}{36}$$
Jetzt sehen wir
$$P(A\geq 9) = \frac{4}{36} +\frac{3}{36} +\frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{10}{36} = 0.278$$
c) Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, höchsten eine Summe von 10 zu würfeln, muss dieses Ereigniss wieder heruntergebrochen werden. Hier wären also alle Augensummen von 2 bis 10 Teil des Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeiten all dieser Teilereignisse auszurechnen wäre etwas aufwändig, deswegen ist es in so einem Fall immer besser mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu arbeiten.
$$P(A\leq 10) = 1 – P(A > 10) = 1 – \left( P(A=11) + P(A=12) \right)$$
Diese Wahrscheinlichkeiten haben wir in b) schon ausgerechnet daher
$$P(A\leq 10) = 1 – \left( \frac{2}{36}+\frac{1}{36} \right) = \frac{33}{36} = 0.917$$
Variante 2: Wahrscheinlichkeitsfunktion aufstellen
Wir erstellen eine Tabelle, wo in der oberen Zeile unsere Werte hinkommen und in der unteren die respektiven Wahrscheinlichkeiten. Das heißt oben haben wir unsere Augensummen von 2 bis 12 und unten müssen wir für jede Augensumme die Wahrscheinlichkeit berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 2 ist, wäre \(\frac{1}{36}\), weil nur durch zwei 1er dieses Ereigniss eintriff kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 3 ist, wäre \(\frac{2}{36}\) und das macht man für alle weiteren Augensummen.
Wenn man alle Wahrscheinlichkeiten zusammenzählt muss insgesamt \(\frac{36}{36}\) bzw. 1 rauskommen. So schaut die Wahrscheinlichkeitsfunktion graphisch aus:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion aufzustellen ist anfangs etwas aufwändiger, aber dafür geht es danach schneller. Wir können jetzt nämlich unsere Wahrscheinlichkeiten von vorhin deutlich schneller ermitteln, indem wir sie einfach aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion ablesen.
a) $$P(A=4) = \frac{3}{36} = 0.083$$
b) $$P(A\geq 9) = \frac{4}{36} +\frac{3}{36} +\frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{10}{36} = 0.278$$
c) $$P(A\leq 10) = 1 – \left( \frac{2}{36}+\frac{1}{36} \right) = \frac{33}{36} = 0.917$$
Variante 3: Raster mit Augensummen erstellen
Eine weitere Möglichkeit besteht darin, euch ein Raster mit den Zahlen jeweils von 1 bis 6 aufzuzeichnen. Diese stellen die 2 Würfel dar. Um das Raster zu fülllen, könnt ihr jeweils die Randzahlen miteinander addieren. Also \(1 + 1 = 2\), \(1 + 2 = 3\), \(1 + 3 = 4\) usw. Das macht ihr für alle 36 Felder damit das Raster ganz ausgefüllt ist.
Der Vorteil besteht darin, dass ihr jetzt auch wieder ganz einfach die gesuchten Wahrscheinlichkeiten bestimmen könnt. Ihr müsst einfach die entsprechenden Felder zählen.
a) Wir zählen, wie viele Fleder die gewünschte Augensumme 4 enthalten.
Wir finden 3 Felder um bekommen wieder die Rechnung:
$$P(A=4) = \frac{3}{36} = 0.083$$
b) Wir zählen alle Felder, die eine Augensumme von 9 oder höher haben.
Wir finden 10 Felder um bekommen wieder die Rechnung:
$$P(A\geq 9) = \frac{10}{36} = 0.278$$
c) Hier hat man 2 Möglichkeiten.
Entweder man zählt alle Felder, die kleiner oder gleich 10 sind und bekommt…
$$P(A\leq 10) = \frac{33}{36} = 0.917$$
… oder man arbeitet wieder mit der Gegenwahrscheinlichkeit und zählt nur die Felder, die größer als 10 sind und zieht sie von 1 ab.
$$P(A\leq 10) = 1 – P(A > 10) = 1- \frac{3}{36} = \frac{33}{36} = 0.917$$
Diese Variante ist am einfachsten zu rechnen, da sie vor allem auch bei anderen Arten von Würfeln gut funktioniert. Ihr werdet vielleicht auch Aufgaben sehen, in denen unterschiedliche Würfel vorkommen. Zum Beispiel diese beiden hier:
Wir haben auf einem Würfel drei 1er, zwei 2er und einen 3er und beim anderen zwei 1er, zwei 2er, einen 3er und einen 4er.
Wenn wir hier wieder die Augensumme bestimmen wollen, ist es deutlich einfacher sich so ein Raster zu zeichnen als sich alle möglichen Kombinationen zu überlegen. Unter anderem auch ganz einfach deswegen, weil wir so eine Art von Würfel nicht gewöhnt sind. Das Raster würde dann einfach so ausschauen
Dieser Beitrag soll euch einfach einen Überblick über mehrere Möglichkeiten zur Berechnung liefern. Sucht euch die aus, die euch am einfachsten fällt. Ihr könntet zum Beispiel das Raster auch dafür benutzten die Wahrscheinlichkeitsfunktion aufzustellen bzw. zu zeichnen.