Skalenniveaus
- Zweck von Skalenniveaus
- Skalenniveau bestimmen
- Eigenschaften
- Unterschiede Ordinal- und Intervallskala
- Übersichtliche Zusammenfassung
Egal ob du schon etwas vertraut mit dem Thema bist oder ob du zum ersten Mal davon hörst, ich bin mir sicher, dass dir dieser Beitrag helfen wird, die Skalenniveaus und deren Unterschiede besser zu verstehen.
Nutzen
Wozu braucht man überhaupt Skalenniveaus in der Statistik? Das korrekte Skalenniveau zu bestimmen ist äußerst wichtig, um zu wissen, welche Lage- oder Streuungsmaße man berechnen bzw. welchen Hypothesentest man anwenden kann.
Nominalskala
Nominalskalierte Merkmale kann man in keine Reihenfolge bzw. Rangordnung bringen. Allgemein lässt sich nicht sagen, dass eine Ausprägung besser ist als die andere. Man kann sie nur auf Gleichheit oder Verschiedenheit unterscheiden.
Beispiele dafür wären Geschlecht, Farben, Nationalitäten oder Berufe.
Man sieht schon, man kann Farben jetzt nicht von gut nach schlecht ordnen. Rot ist nicht besser als Blau, Grün ist nicht besser als Gelb. Subjektiv hat natürlich jeder seine Vorlieben, aber es gibt keine für alle gültige Rangordnung.
Da die einzigen beiden Operatoren, die man verwenden kann, gleich (=) oder ungleich (\(\neq\)) sind. Man kann also schauen, ob zwei Autos dieselbe Farbe haben, oder zwei Personen unterschiedliche Nationalitäten.
Das einzige Lagemaß, welches man bestimmen kann, ist der Modus.
Ordinalskala
Im Gegensatz zur Nominalskala können wir die Merkmale hier der Reihe nach ordnen. Das heißt vom höchsten zum tiefsten oder vom besten zum schlechtesten. Wichtig ist hier, worauf wir später noch näher eingehen werden, dass die Abstände zwischen den Kategorien nicht gleich sind und auch keine Differenzen gebildet werden können.
Ein Beispiel für Ordinalskala wären Schulnoten, Zufriedenheitsskalen oder Zustimmung so wie sie in Fragebögen oft vorkommen oder auch Beurteilungen von z.B. der Temperatur von heiß bis sehr kalt.
Als Operatoren stehen uns, neben gleich (=) oder ungleich (\(\neq\)), auch größer (>) und kleiner (<) zur Verfügung, weil wir jetzt überprüfen können, ob etwas besser bzw. schlechter, höher oder niedriger ist.
Als Lagemaß darf man neben dem Modus auch den Median berechnen.
Intervallskala
Bei der Intervallskala gibt es gleich große Abstände zwischen Kategorien, im Unterschied zur Ordinalskala. Zudem charakterisiert sie sich dadurch, dass sie keinen natürlichen Nullpunkt und keine natürliche Einheit besitzt. Außerdem ist jetzt durch die gleichen Abstände das Berechnen von Differenzen möglich, jedoch können keine Verhältnisse gebildet werden.
Als Beispiele für die Intervallskala hätten wir Temperaturskalen wie Celsius oder Fahrenheit oder den IQ.
Was bedeutet aber nun kein natürlicher Nullpunkt? Zum Beispiel bei der Celsius-Skala wurde der Nullpunkt genau da gewählt, wo das Wasser zu gefrieren beginnt. Also vollkommen willkürlich. Man hätte genauso etwas ganz anderes wählen können. Die Einheit ist auch nicht natürlich, weil einfach Gefrier- und Siedepunkt des Wassers als 0 und 100 bestimmt und dies dann in 100 gleich große Abschnitte geteilt wurde.
Dass das Bilden von Differenzen, aber nicht von Verhältnissen möglich ist, lässt sich an einfachen Beispielen verdeutlichen: Wenn es gestern 10 Grad hatte und heute 20, dann kann man nicht behaupten, es sei heute doppelt so warm. Wenn ich einen IQ von 60 habe, und du einen IQ von 120, dann kann man nicht sagen: Du wärst doppelt so schlau wie ich.
Als Operatoren kommen noch Plus (+) und Minus (-) zu gleich (=), ungleich (\(\neq\)), größer (>) und kleiner (<) dazu und zusätzlich darf man nun auch das arithmetische Mittel (\(\bar{x}\))berechnen.
Verhältnis- oder Ratioskala
Im Vergleich zur Intervallskala haben wir hier einen natürlichen Nullpunkt. Das heißt, wir dürfen auch Verhältnisse bilden. Die Einheit ist jedoch immer noch willkürlich festgelegt.
Beispiele für Variablen auf der Verhältnisskala wären Länge, Gewicht, Einkommen oder die Kelvin Temperaturskala.
Der natürliche Nullpunkt bedeutet, dass dieser nicht beliebig von jemandem festgelegt wurde. Wenn ich zum Beispiel kein Geld habe, dann habe ich nichts. Genauso wenn etwas 0 Meter lang ist oder wenn etwas 0 Kilo wiegt.
Ein natürlicher Nullpunkt bedeutet dabei nicht automatisch, dass die Skala keine negativen Werte annehmen kann. Ich kann ja auch einen negativen Kontostand haben. Außerdem muss ein bestimmter Bereich nicht automatisch eine bestimmte Skala aufweisen. Celsius, Fahrenheit und Kelvin sind alles Temperaturskalen. Wobei die ersten beiden Intervallskaliert sind, Kelvin aber verhältnisskaliert ist. Das liegt einfach daran, dass 0 Kelvin dem absoluten Nullpunkt entsprechen und die Skala somit einen natürlichen Nullpunkt hat.
Als Operatoren kommen nun noch Mal \(\cdot\) und Dividiert (:) zu Plus (+), Minus (-), gleich (=), ungleich (\(\neq\)), größer (>) und kleiner (<) hinzu und man darf bei verhältnisskalierten Variablen zum arithmetischen Mittel (\(\bar{x}\)) auch noch das geometrische Mittel (\(\bar{x}_{geom}\)) zusätzlich berechnen.
Absolutskala
Die Absolutskala im Statistikunterricht wird nicht immer erwähnt, weil es nicht immer notwendig ist. Der Vollständigkeit halber wird sie hier trotzdem behandelt.
Die Absolutskala hat, im Gegensatz zur Verhältnisskala, nicht nur einen natürlichen Nullpunkt, sondern auch eine natürliche Einheit.
Beispiel dafür wären Anzahl von Geburten, Stückzahlen oder die Anzahl an Einwohnern einer Stadt oder eines Landes. Bei allen Beispielen kann man die Einheit nicht beliebig wählen, worin sie sich eben zur Verhältnisskala unterscheidet.
An den Operatoren und am Lagemaß ändert sich im Gegensatz zu vorher nichts mehr.
Unterschied Ordinal- und Intervallskala
Generell ist der Unterschied zwischen Ordinal- und Intervallskala häufig eine Art Graubereich. Wir werden jetzt nicht zu sehr ins Detail gehen, aber es wird oft diskutiert, ab wann eine Variable in der Ordinal bzw. Intervallskala verwendet werden darf. Dies macht oft einen großen Unterschied bei der Auswahl des korrekten Hypothesentests.
Sehen wir uns zur Veranschaulichung unsere Beispiele von vorher noch einmal genauer an. Schulnoten sind prinzipiell ordinalskaliert. D.h. man darf hier nur Modus und Median berechnen. Trotzdem wird in wahrscheinlich jeder Schule oder Uni ein Notendurchschnitt berechnet. Dies setzt aber eigentlich voraus, dass die Abstände zwischen den Noten gleich sein müssen. Wenn man die Noten mit Zahlen darstellt, scheinen die Abstände auch gleich zu sein. Weil wenn man sich von 5 auf 4 bzw. von 2 auf 1 steigert, hat man sich jeweils um einen Notengrad verbessert. Wenn man aber genauer darüber nachdenkt, steckt nicht immer genau derselbe Aufwand dahinter. Generell ist es vermutlich einfacher, von einem Nicht genügend auf ein Genügend zu kommen, als von einem Gut auf ein Sehr gut. Vor allem aber wird das jede Person subjektiv etwas anders einschätzen.
Bei der empfundenen Temperatur kann man gut das Thema der ungleichen Abstände erkennen. Der Abstand von Sehr Kalt auf Kalt ist sicher nicht derselbe wie von Kalt auf Warm bzw. von Warm auf Heiß. Vor allem versteht so ziemlich jede Person etwas anderes, wann es heiß, warm oder kalt ist. Außerdem sieht man auch, dass sich keine Differenzen berechnen lassen, weil was wäre zum Beispiel Heiß Minus Warm.
Dasselbe gilt bei der Zufriedenheit. Auch hier sind die Abstände nicht gleich. Viele sind schnell mal nicht unzufrieden, es muss jedoch viel passieren, damit sie sehr zufrieden sind.
Die Frage, ab wann eine ordinalskalierte Variable eventuell als Intervallskala angesehen werden kann, kann man wohl am ehesten mit der Art der Darstellung begründen. Dafür haben wir hier zwei Beispiele zur Zustimmung.
Intervallskala wird angenommen
Ordinalskala wird angenommen
Rechts mit Verbalisierung in jedem Punkt, und links nur mit Verbalisierung an den Rändern. In vielen Fällen wird es nun so gehandhabt, dass wenn jeder Punkt verbalisiert ist, die Variable als Ordinal- und wenn nur die Ränder verbalisiert sind, diese als Intervallskala betrachtet werden kann. Das liegt einfach daran, dass durch die Zahlen und optisch gleiche Abstände, Befragte diese auch dann eher als gleichabständig verstehen.
Bitte Vorsicht hier, dies sind nur ein paar Hilfestellungen für euch. Es handelt sich wie schon erwähnt um einen Graubereich, wo nicht alle einer Meinung sind. Im Zweifelsfall solltet ihr noch einmal genau recherchieren bzw. das mit eurem Prof. abklären, welches Skalenniveau eure Variable hat.
Übersicht – Zusammenfassung
| Skala | Charakteristika | Beispiel | Operationen | Lagemaße |
| Nominalskala | •Merkmale gleichwertig •keine Rangordnung •Auf Gleichheit, Verschiedenheit unterscheidbar | •Geschlecht •Farben •Nationalitäten •Beruf | =, \(\neq\) | Modus |
| Ordinalskala | •Reihung der Merkmale möglich •Abstände nicht gleich •Bilden von Differenzen nicht möglich | •Schulnoten •Zufriedenheit •Zustimmung •Beurteilung | =, \(\neq\), <, > | Modus, Median |
| Intervallskala | •Kein natürlicher Nullpunkt •Keine natürliche Einheit •Abstände gleich •Bilden von Differenzen möglich •Bilden von Verhältnisse nicht möglich | •Celsius •Fahrenheit •IQ | =, \(\neq\), <, >, +, – | Modus, Median, arithmetisches Mittel |
| Verhältnisskala | •Natürlicher Nullpunkt •Keine natürliche Einheit •Verhältnisse möglich | •Länge •Gewicht •Einkommen •Kelvin | =, \(\neq\), <, >, +, -, \(\cdot\), : | Modus, Median, arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel |
| Absolutskala | •Natürlicher Nullpunkt •Natürliche Einheit | •Geburtenanzahl •Stückzahl •Anzahl Einwohner | =, \(\neq\), <, >, +, -, \(\cdot\), : | Modus, Median, arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel |
Skalenniveaus
- Zweck von Skalenniveaus
- Skalenniveau bestimmen
- Eigenschaften
- Unterschiede Ordinal- und Intervallskala
- Übersichtliche Zusammenfassung
Egal ob du schon etwas vertraut mit dem Thema bist oder ob du zum ersten Mal davon hörst, ich bin mir sicher, dass dir dieser Beitrag helfen wird, die Skalenniveaus und deren Unterschiede besser zu verstehen.
Nutzen
Wozu braucht man überhaupt Skalenniveaus in der Statistik? Das korrekte Skalenniveau zu bestimmen ist äußerst wichtig, um zu wissen, welche Lage- oder Streuungsmaße man berechnen bzw. welchen Hypothesentest man anwenden kann.
Nominalskala
Nominalskalierte Merkmale kann man in keine Reihenfolge bzw. Rangordnung bringen. Allgemein lässt sich nicht sagen, dass eine Ausprägung besser ist als die andere. Man kann sie nur auf Gleichheit oder Verschiedenheit unterscheiden.
Beispiele dafür wären Geschlecht, Farben, Nationalitäten oder Berufe.
Man sieht schon, man kann Farben jetzt nicht von gut nach schlecht ordnen. Rot ist nicht besser als Blau, Grün ist nicht besser als Gelb. Subjektiv hat natürlich jeder seine Vorlieben, aber es gibt keine für alle gültige Rangordnung.
Da die einzigen beiden Operatoren, die man verwenden kann, gleich (=) oder ungleich (\(\neq\)) sind. Man kann also schauen, ob zwei Autos dieselbe Farbe haben, oder zwei Personen unterschiedliche Nationalitäten.
Das einzige Lagemaß, welches man bestimmen kann, ist der Modus.
Ordinalskala
Im Gegensatz zur Nominalskala können wir die Merkmale hier der Reihe nach ordnen. Das heißt vom höchsten zum tiefsten oder vom besten zum schlechtesten. Wichtig ist hier, worauf wir später noch näher eingehen werden, dass die Abstände zwischen den Kategorien nicht gleich sind und auch keine Differenzen gebildet werden können.
Ein Beispiel für Ordinalskala wären Schulnoten, Zufriedenheitsskalen oder Zustimmung so wie sie in Fragebögen oft vorkommen oder auch Beurteilungen von z.B. der Temperatur von heiß bis sehr kalt.
Als Operatoren stehen uns, neben gleich (=) oder ungleich (\(\neq\)), auch größer (>) und kleiner (<) zur Verfügung, weil wir jetzt überprüfen können, ob etwas besser bzw. schlechter, höher oder niedriger ist.
Als Lagemaß darf man neben dem Modus auch den Median berechnen.
Intervallskala
Bei der Intervallskala gibt es gleich große Abstände zwischen Kategorien, im Unterschied zur Ordinalskala. Zudem charakterisiert sie sich dadurch, dass sie keinen natürlichen Nullpunkt und keine natürliche Einheit besitzt. Außerdem ist jetzt durch die gleichen Abstände das Berechnen von Differenzen möglich, jedoch können keine Verhältnisse gebildet werden.
Als Beispiele für die Intervallskala hätten wir Temperaturskalen wie Celsius oder Fahrenheit oder den IQ.
Was bedeutet aber nun kein natürlicher Nullpunkt? Zum Beispiel bei der Celsius-Skala wurde der Nullpunkt genau da gewählt, wo das Wasser zu gefrieren beginnt. Also vollkommen willkürlich. Man hätte genauso etwas ganz anderes wählen können. Die Einheit ist auch nicht natürlich, weil einfach Gefrier- und Siedepunkt des Wassers als 0 und 100 bestimmt und dies dann in 100 gleich große Abschnitte geteilt wurde.
Dass das Bilden von Differenzen, aber nicht von Verhältnissen möglich ist, lässt sich an einfachen Beispielen verdeutlichen: Wenn es gestern 10 Grad hatte und heute 20, dann kann man nicht behaupten, es sei heute doppelt so warm. Wenn ich einen IQ von 60 habe, und du einen IQ von 120, dann kann man nicht sagen: Du wärst doppelt so schlau wie ich.
Als Operatoren kommen noch Plus (+) und Minus (-) zu gleich (=), ungleich (\(\neq\)), größer (>) und kleiner (<) dazu und zusätzlich darf man nun auch das arithmetische Mittel (\(\bar{x}\))berechnen.
Verhältnis- oder Ratioskala
Im Vergleich zur Intervallskala haben wir hier einen natürlichen Nullpunkt. Das heißt, wir dürfen auch Verhältnisse bilden. Die Einheit ist jedoch immer noch willkürlich festgelegt.
Beispiele für Variablen auf der Verhältnisskala wären Länge, Gewicht, Einkommen oder die Kelvin Temperaturskala.
Der natürliche Nullpunkt bedeutet, dass dieser nicht beliebig von jemandem festgelegt wurde. Wenn ich zum Beispiel kein Geld habe, dann habe ich nichts. Genauso wenn etwas 0 Meter lang ist oder wenn etwas 0 Kilo wiegt.
Ein natürlicher Nullpunkt bedeutet dabei nicht automatisch, dass die Skala keine negativen Werte annehmen kann. Ich kann ja auch einen negativen Kontostand haben. Außerdem muss ein bestimmter Bereich nicht automatisch eine bestimmte Skala aufweisen. Celsius, Fahrenheit und Kelvin sind alles Temperaturskalen. Wobei die ersten beiden Intervallskaliert sind, Kelvin aber verhältnisskaliert ist. Das liegt einfach daran, dass 0 Kelvin dem absoluten Nullpunkt entsprechen und die Skala somit einen natürlichen Nullpunkt hat.
Als Operatoren kommen nun noch Mal \(\cdot\) und Dividiert (:) zu Plus (+), Minus (-), gleich (=), ungleich (\(\neq\)), größer (>) und kleiner (<) hinzu und man darf bei verhältnisskalierten Variablen zum arithmetischen Mittel (\(\bar{x}\)) auch noch das geometrische Mittel (\(\bar{x}_{geom}\)) zusätzlich berechnen.
Absolutskala
Die Absolutskala im Statistikunterricht wird nicht immer erwähnt, weil es nicht immer notwendig ist. Der Vollständigkeit halber wird sie hier trotzdem behandelt.
Die Absolutskala hat, im Gegensatz zur Verhältnisskala, nicht nur einen natürlichen Nullpunkt, sondern auch eine natürliche Einheit.
Beispiel dafür wären Anzahl von Geburten, Stückzahlen oder die Anzahl an Einwohnern einer Stadt oder eines Landes. Bei allen Beispielen kann man die Einheit nicht beliebig wählen, worin sie sich eben zur Verhältnisskala unterscheidet.
An den Operatoren und am Lagemaß ändert sich im Gegensatz zu vorher nichts mehr.
Unterschied Ordinal- und Intervallskala
Generell ist der Unterschied zwischen Ordinal- und Intervallskala häufig eine Art Graubereich. Wir werden jetzt nicht zu sehr ins Detail gehen, aber es wird oft diskutiert, ab wann eine Variable in der Ordinal bzw. Intervallskala verwendet werden darf. Dies macht oft einen großen Unterschied bei der Auswahl des korrekten Hypothesentests.
Sehen wir uns zur Veranschaulichung unsere Beispiele von vorher noch einmal genauer an. Schulnoten sind prinzipiell ordinalskaliert. D.h. man darf hier nur Modus und Median berechnen. Trotzdem wird in wahrscheinlich jeder Schule oder Uni ein Notendurchschnitt berechnet. Dies setzt aber eigentlich voraus, dass die Abstände zwischen den Noten gleich sein müssen. Wenn man die Noten mit Zahlen darstellt, scheinen die Abstände auch gleich zu sein. Weil wenn man sich von 5 auf 4 bzw. von 2 auf 1 steigert, hat man sich jeweils um einen Notengrad verbessert. Wenn man aber genauer darüber nachdenkt, steckt nicht immer genau derselbe Aufwand dahinter. Generell ist es vermutlich einfacher, von einem Nicht genügend auf ein Genügend zu kommen, als von einem Gut auf ein Sehr gut. Vor allem aber wird das jede Person subjektiv etwas anders einschätzen.
Bei der empfundenen Temperatur kann man gut das Thema der ungleichen Abstände erkennen. Der Abstand von Sehr Kalt auf Kalt ist sicher nicht derselbe wie von Kalt auf Warm bzw. von Warm auf Heiß. Vor allem versteht so ziemlich jede Person etwas anderes, wann es heiß, warm oder kalt ist. Außerdem sieht man auch, dass sich keine Differenzen berechnen lassen, weil was wäre zum Beispiel Heiß Minus Warm.
Dasselbe gilt bei der Zufriedenheit. Auch hier sind die Abstände nicht gleich. Viele sind schnell mal nicht unzufrieden, es muss jedoch viel passieren, damit sie sehr zufrieden sind.
Die Frage, ab wann eine ordinalskalierte Variable eventuell als Intervallskala angesehen werden kann, kann man wohl am ehesten mit der Art der Darstellung begründen. Dafür haben wir hier zwei Beispiele zur Zustimmung.
Intervallskala wird angenommen
Ordinalskala wird angenommen
Rechts mit Verbalisierung in jedem Punkt, und links nur mit Verbalisierung an den Rändern. In vielen Fällen wird es nun so gehandhabt, dass wenn jeder Punkt verbalisiert ist, die Variable als Ordinal- und wenn nur die Ränder verbalisiert sind, diese als Intervallskala betrachtet werden kann. Das liegt einfach daran, dass durch die Zahlen und optisch gleiche Abstände, Befragte diese auch dann eher als gleichabständig verstehen.
Bitte Vorsicht hier, dies sind nur ein paar Hilfestellungen für euch. Es handelt sich wie schon erwähnt um einen Graubereich, wo nicht alle einer Meinung sind. Im Zweifelsfall solltet ihr noch einmal genau recherchieren bzw. das mit eurem Prof. abklären, welches Skalenniveau eure Variable hat.
Übersicht – Zusammenfassung
| Skala | Charakteristika | Beispiel | Operationen | Lagemaße |
| Nominalskala | •Merkmale gleichwertig •keine Rangordnung •Auf Gleichheit, Verschiedenheit unterscheidbar | •Geschlecht •Farben •Nationalitäten •Beruf | =, \(\neq\) | Modus |
| Ordinalskala | •Reihung der Merkmale möglich •Abstände nicht gleich •Bilden von Differenzen nicht möglich | •Schulnoten •Zufriedenheit •Zustimmung •Beurteilung | =, \(\neq\), <, > | Modus, Median |
| Intervallskala | •Kein natürlicher Nullpunkt •Keine natürliche Einheit •Abstände gleich •Bilden von Differenzen möglich •Bilden von Verhältnisse nicht möglich | •Celsius •Fahrenheit •IQ | =, \(\neq\), <, >, +, – | Modus, Median, arithmetisches Mittel |
| Verhältnisskala | •Natürlicher Nullpunkt •Keine natürliche Einheit •Verhältnisse möglich | •Länge •Gewicht •Einkommen •Kelvin | =, \(\neq\), <, >, +, -, \(\cdot\), : | Modus, Median, arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel |
| Absolutskala | •Natürlicher Nullpunkt •Natürliche Einheit | •Geburtenanzahl •Stückzahl •Anzahl Einwohner | =, \(\neq\), <, >, +, -, \(\cdot\), : | Modus, Median, arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel |
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