Axiome von Kolmogorov
Dieser Beitrag beschäftigt sich mit den Kolmogorow-Axiomen. Folgende Fragen werden hier beantwortet:
- Was sind die Axiome von Kolmogorow?
- Welche Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten folgen daraus?
Die Kolmogorow-Axiome sind nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (Андре́й Никола́евич Колмого́ров) benannt, einem sowjetischen Mathematiker, der die Wahrscheinlichkeitsrechnung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts auf formale Beine stellte und damit im Wesentlichen das moderne mathematische Fundament für Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik schuf. Bild: Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow vor einem Auditorium, fotografiert von Wsewolod Sergejewitsch Tarassewitsch, CC BY 4.0, via Wikimedia Commons.
Kolmogorow definierte drei Axiome (also mathematische „Spielregeln“, aus denen alle weiteren Resultate von Interesse folgen), mit denen man alle grundlegende Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten herleiten kann: Die Nichtnegativität, die Normiertheit und die Additivität.
Die Nichtnegativität fordert, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A eine nichtnegative Zahl sein muss. Mathematisch geschrieben bedeutet das $$P(A) \geq 0 $$.
Die Normiertheit stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ergebnisraums \(\Omega\) (als Ereignis betrachtet)\(1\) ist, mathematisch formuliert $$P(\Omega) = 1. $$ Das bedeutet nichts anderes, als dass alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments zusammengenommen Wahrscheinlichkeit \(1\) haben. Bezugnehmend auf das Beispiel des Münzwurfs von zuvor besagt das Axiom der Normiertheit, dass die Wahrscheinlichkeit, dass entweder „Kopf“ oder „Zahl“ das Ergebnis des Münzwurfs ist, gleich\( 1\) sein muss. Dies spiegelt die intuitive Tatsache wider, dass ein Ereignis, das im Rahmen des Zufallsexperiments sicher eintritt (beim Münzwurf ist dies das Ereignis, dass die Münze entweder auf „Kopf“ oder auf „Zahl“ landet), Wahrscheinlichkeit \(1\) haben soll.
Die Additivität besagt, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier disjunkter Ereignisse \(A\) und \(B\) (für die Erklärung, was das bedeutet, siehe den folgenden Abschnitt) die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten ist. Mathematisch geschrieben fordert die Additivität, dass für zwei disjunkte Ereignisse \(A\) und \(B\) $$P(A \cup B ) = P(A) + P(B)$$ gilt.
Wie bereits erwähnt, reichen diese drei Axiome aus, um daraus alle wichtigen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten zu folgern. Insbesondere sind das:
- Für jedes Ereignis \(A\) liegt \(P(A) \) zwischen \(0\) und \(1\).
- Für das Komplementärereignis \(A^c\) (siehe den entsprechenden Abschnitt) gilt \(P(A^c) = 1 – P(A)\).
- Wenn \(A \subseteq B \) (in Worten: Das Ereignis \(B\) enthält das Ereignis \(A\)), dann ist \(P(A) \leq P(B)\).
- Für alle Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt \(P(A \cup B) \leq P(A) + P(B) \).
Alle diese Eigenschaften lassen sich leicht mit Hilfe der Kolmogorow-Axiome zeigen.
Axiome von Kolmogorov
Dieser Beitrag beschäftigt sich mit den Kolmogorow-Axiomen. Folgende Fragen werden hier beantwortet:
- Was sind die Axiome von Kolmogorow?
- Welche Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten folgen daraus?
Die Kolmogorow-Axiome sind nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (Андре́й Никола́евич Колмого́ров) benannt, einem sowjetischen Mathematiker, der die Wahrscheinlichkeitsrechnung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts auf formale Beine stellte und damit im Wesentlichen das moderne mathematische Fundament für Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik schuf. Bild: Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow vor einem Auditorium, fotografiert von Wsewolod Sergejewitsch Tarassewitsch, CC BY 4.0, via Wikimedia Commons.
Kolmogorow definierte drei Axiome (also mathematische „Spielregeln“, aus denen alle weiteren Resultate von Interesse folgen), mit denen man alle grundlegende Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten herleiten kann: Die Nichtnegativität, die Normiertheit und die Additivität.
Die Nichtnegativität fordert, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A eine nichtnegative Zahl sein muss. Mathematisch geschrieben bedeutet das $$P(A) \geq 0 $$.
Die Normiertheit stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ergebnisraums \(\Omega\) (als Ereignis betrachtet)\(1\) ist, mathematisch formuliert $$P(\Omega) = 1. $$ Das bedeutet nichts anderes, als dass alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments zusammengenommen Wahrscheinlichkeit \(1\) haben. Bezugnehmend auf das Beispiel des Münzwurfs von zuvor besagt das Axiom der Normiertheit, dass die Wahrscheinlichkeit, dass entweder „Kopf“ oder „Zahl“ das Ergebnis des Münzwurfs ist, gleich\( 1\) sein muss. Dies spiegelt die intuitive Tatsache wider, dass ein Ereignis, das im Rahmen des Zufallsexperiments sicher eintritt (beim Münzwurf ist dies das Ereignis, dass die Münze entweder auf „Kopf“ oder auf „Zahl“ landet), Wahrscheinlichkeit \(1\) haben soll.
Die Additivität besagt, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier disjunkter Ereignisse \(A\) und \(B\) (für die Erklärung, was das bedeutet, siehe den folgenden Abschnitt) die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten ist. Mathematisch geschrieben fordert die Additivität, dass für zwei disjunkte Ereignisse \(A\) und \(B\) $$P(A \cup B ) = P(A) + P(B)$$ gilt.
Wie bereits erwähnt, reichen diese drei Axiome aus, um daraus alle wichtigen Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten zu folgern. Insbesondere sind das:
- Für jedes Ereignis \(A\) liegt \(P(A) \) zwischen \(0\) und \(1\).
- Für das Komplementärereignis \(A^c\) (siehe den entsprechenden Abschnitt) gilt \(P(A^c) = 1 – P(A)\).
- Wenn \(A \subseteq B \) (in Worten: Das Ereignis \(B\) enthält das Ereignis \(A\)), dann ist \(P(A) \leq P(B)\).
- Für alle Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt \(P(A \cup B) \leq P(A) + P(B) \).
Alle diese Eigenschaften lassen sich leicht mit Hilfe der Kolmogorow-Axiome zeigen.