Binomialverteilung- Binompdf, Binomcdf

Im diesem Beitrag geht es wieder um die Binomialverteilung. Diemal sehen wir uns an, wie man sie konkret berechnet. Die auf Taschenrechnern gängigen Funktionen binompdf und binomcdf werden dafür verwendet.

Konkret behandelt wir

• die Begriffe PDF und CDF
• die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
• binompdf, binomcdf
• ein Cheatheet für binompdf und binomcdf

Ihr solltet unbedingt den Beitrag zur Binomialverteilung gesehen haben, weil ich hier auf viele Dinge nicht mehr näher eingehen werde. Außerdem ist das Video zu diskreten Zufallsvariablen hilfreich für ein besseres Verständnis.

Probability density function and cumulative density function

PDF steht für probability density function und stellt die Wahrscheinlichkeitsfunktion dar. CDF steht für cumulative distribution function und stellt die Verteilungsfunktion dar.

Hier sind beide Verteilungen graphisch dargestellt:

Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit von \(P(X=k)\) und mit der Verteilungsfunktion \(P(X\leq k)\). Wenn ihr mehr zu diesem Thema wissen wollt, schaut euch bitte das Video zu diskreten Zufallsvariablen an.
Für uns ist jetzt vor allem wichtig, dass ihr die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. pdf verwendet, wenn ihr die Wahrscheinlichkeit von einem genauen Wert ermitteln wollt und die Verteilungsfunktion bzw. cdf, wenn ihr mehr \(>\), weniger \(<\), höchstens \(\leq\) oder mindestens \(\geq\) berechnen wollt.

Die Funktionen binompdf und binomcdf sehen in der Regel so aus. Man muss also die korrekte Funktion auswählen und die Werte für n, p, k eingeben.

Rechenbeispiele – Glücksrad

Zuerst definieren wir unsere Zufallsvariable X.

X … Pfeil landet auf Statistikquelle-Logo

4 der 10 Felder haben ein Logo, somit beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0.4. Wir wiederholen den Versuch 8-mal. Somit ist n=8.

a) Wir wollen \(P(X=3)\) bestimmen. Das ist die Wahrscheinlichkeit von genau einem Wert und aus diesem Grund müssen wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion, also binompdf verwenden. Wir kennen bereits die Werte für n, p und k und können diese direkt einsetzen. Die Lösung erhalten wir mit binompdf(8, 0.4, 3). Bitte beachtet immer die Reihenfolge der Werte. Die kann je nach Taschenrechner oder Funktion unterschiedlich sein. Die Lösung ist 0.2787.

b) Wir wollen \(P(X \leq 2)\) bestimmen. Hier suchen wir jetzt nicht eine genaue Wahrscheinlichkeit, sondern den Bereich von 0 bis 2. Deshalb müssen wir die Verteilungsfunktion verwenden, wir brauchen also binomcdf. Wir rechnen binomcdf(8, 0.4, 2) und bekommen die Lösung 0.3154.

d) Hier wollen wir \(P(X < 7)\) berechnen. Hier ist jetzt zu beachten, dass wir mit binomcdf die Wahrscheinlichkeit für \(\leq\) bestimmen, wir aber nun \(<7\) suchen. Kleiner 7 bedeutet aber ja nichts anderes als kleiner gleich 6. Somit können wir anstelle von \(P(X<7)\) auch einfach \(P(X\leq6)\) schreiben. Ds geht, weil die Binomialverteilung ja eine diskrete Verteilung ist. Zwischen 6 und 7 gibt es keine möglichen Ausprägungen und somit ist 6 der nächstkleinere Wert. Deshalb rechnen wir binomcdf(8, 0.4, 6) und erhalten 0.9915 als Lösung.

d) Wir wollen \(P(X > 5)\) bestimmen. Hier ist auch wieder zu beachten, dass wir mit binomcdf die Wahrscheinlichkeit für \(\leq\) bestimmen, wir aber nun \(P(X>5)\) berechnen wollen. Wir können hier nun von der Gegenwahrscheinlichkeit Gebrauch machen und können anstelle von P(X>5) auch 1-P(X≤5) schreiben.

$$P(X>5) = 1- P(X\leq 5)$$

Wichtig ist, das Gegenteil von \(>\) und ist nicht \(<\) sondern \(\leq\).

Das könnt ihr einfach an folgendem Beispiel erkennen: Größer 5 sind ja alle Zahlen von 6 bis 8. Das Gegenteil sind also die Zahlen von 0 bis 5, was wir auch mit \(\leq5\) darstellen können. Würdet ihr nur \(<5\) schreiben, hättet ihr die 5 in dem Fall dann nicht berücksichtigt und würdet ein falsches Ergebnis erhalten.

Wir haben also wieder \(\leq\) und können nun die Funktion binomcdf verwenden. Die Lösung erhalten wir dann mit 1-binomcdf(8, 0.4, 5), was 0.0498 ergibt.

e) Als Letztes wollen wir \(P(X \geq 3)\) berechnen. Auch hier arbeiten wir wieder mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Also können wir \(1-P(X<3)\) schreiben. Das reicht aber noch nicht ganz, deshalb können wir wie im Beispiel davor die nächstkleinere Zahl nehmen und anstelle von \(<3\) auch \(\leq 2\) schreiben, damit wir die Aufgabenstellung wieder durch \(\leq\) ausdrücken können. Wir rechnen 1-binomcdf(8, 0.4, 2) und erhalten 0.6846 als Lösung.

Wenn ihr die Verteilungsfunktion, also binomcdf verwenden wollt, müsst ihr also, immer darauf achten, dass ihr das Ganze auf „kleiner gleich“ \(\leq\) bringt um die Anzahl der Erfolge korrekt zu bestimmen.

Cheatsheet

Ich habe euch hier zusammenfassend auch noch einen kleinen Cheatsheet mit allen 5 Möglichkeiten erstellt, damit die Anwendung noch etwas einfacher wird für euch.