Binomialverteilung Grundlagen
Hier lernt ihr alles Nötige zur Binomialverteilung.
- Bernoulli-Verteilung
- Eigenschaften der Binomialverteilung
- Voraussetzungen für die Binomialverteilung
- Herleitung der Formel
- Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
Die Beiträge zu Kombinatorik, Laplace-Wahrscheinlichkeit und diskreten Zufallsvariablen sind hier hilfreich für ein besseres Verständnis.
Bernoulli-Verteilung
Bevor wir mit der Binomialverteilung loslegen, sehen wir uns kurz die Bernoulli-Verteilung an.
Ein Bernoulli-Experiment ist ein zufälliges Experiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die als „Erfolg“ und „Misserfolg“ bezeichnet werden. Erfolg und Misserfolg könnten zum Beispiel „Kopf“ und „Zahl“ bei einem Münzwurf, „Bestanden“ und „Nicht bestanden“ bei einer Prüfung oder „6“ und „keine 6“ bei einem Würfel sein.
p … Erfolgswahrscheinlichkeit
1-p = q … Misserfolgswahrscheinlichkeit
Wichtig für die Bernoulli-Verteilung ist, dass wir den Versuch nur einmal durchführen. Wir werfen die Münze oder den Würfel nur ein einziges Mal.
Binomialverteilung
Wenn wir ein Bernoulli-Experiment mehrmals durchführen, z. B. das mehrmalige Werfen einer Münze oder eines Würfels, sprechen wir von einer Binomialverteilung. Diese diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht einem Bernoulli-Experiment, das n-mal wiederholt wird.
Die Formel für die Binomialverteilung lautet:
$$P(X \leq k) = {n \choose k}p^{k} (1-p)^{n-k}$$
Dabei definieren die Parameter n und p die Verteilung, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.
Sieht man irgendwo geschrieben \(X \sim Bin(n,p)\), liest man das als „X folgt einer Binomialverteilung mit Parametern n und p“.
Anstelle von k wird auch häufig ein kleines x verwendet. Klein x bzw. k stellt die Anzahl der Erfolge dar, also was ihr in der jeweiligen Aufgabe berechnen wollt.
Voraussetzungen
Wir verwenden die Binomialverteilung also, wenn wir nur 2 mögliche Ergebnisse haben – Erfolg und Misserfolg. Außerdem muss es sich um „Ziehen mit Zurücklegen“ handeln. Anders ausgedrückt bedeutet das: Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss immer gleichbleiben. Zudem muss die Anzahl der Versuche feststehen und die einzelnen Versuche müssen unabhängig voneinander sein.
Herleitung der Formel
Wir wollen die Formel für die Binomialverteilung anhand eines kurzen Beispiels herleiten.
Ein Schütze hat immer eine Trefferquote von 70 % und er schießt 3-mal auf eine Zielscheibe.
Wir gehen in diesem Beispiel davon aus, dass jeder Schuss unabhängig von den Schüssen davor ist. D.h. der Schütze lässt sich nicht davon beeinflussen, ob seine vorherigen Schüsse getroffen haben oder nicht. Stellen wir das kurz als Baumdiagramm dar.
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass der Schütze genau 2-mal die Scheibe trifft. Wenn wir den Baum betrachten, tritt dieses Ereignis entlang der 3 markierten Pfade ein. In jedem dieser Pfade trifft er genau 2-mal und verschießt 1-mal. Wenn wir den ersten dieser Pfade entlanggehen und die Wahrscheinlichkeiten notieren, kommen wir auf \(0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3\). Das können wir auch mit Potenzen darstellen
$$0.7^2 * 0.3^1$$
Jetzt hatten wir aber nicht nur eine Möglichkeit, 2-mal zu treffen, sondern es gab insgesamt 3 Fälle, in denen das vorkam. Das bedeutet, wir können die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer so berechnen.
$$3 * 0.7^2 * 0.3^1$$
0.7 entspricht in unserem Beispiel der Erfolgswahrscheinlichkeit p. 0.3 ist die Gegenwahrscheinlichkeit 1-p. Die 2 ist die Anzahl der Erfolge k (= Treffer). Die 1 ist die Anzahl der Misserfolge. Diese können wir berechnen, indem wir die Gesamtanzahl der Versuche n minus die Anzahl der Erfolge k rechnen. Wie viele Möglichkeiten es gibt, bei 3 Schüssen 2-mal zu treffen, kann man mit dem Binomialkoeffizienten \({3 choose 2}\) ausrechnen. Wenn ihr den Beitrag zur Kombinatorik bereits gelesen habt, wisst ihr das schon.
Alles zusammen ergibt die richtige Formel der Binomialverteilung.
$$P(X = 2) = {3 \choose 2}0.7^{2} (0.3)^{1}$$
$$P(X = k) = {n \choose k}p^{k} (1-p)^{n-k}$$
Erwartungswert und Varianz
Die Formeln für Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung sind:
$$\mathbb{E}(X) = np \qquad \mathbb{V}ar(X) = np(1-p)$$
Wie man Erwartungswert und Varianz berechnet, seht ihr im Beitrag zu Binomialverteilung – Berechnung per Hand.
Binomialverteilung Grundlagen
Hier lernt ihr alles Nötige zur Binomialverteilung.
- Bernoulli-Verteilung
- Eigenschaften der Binomialverteilung
- Voraussetzungen für die Binomialverteilung
- Herleitung der Formel
- Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung
Die Beiträge zu Kombinatorik, Laplace-Wahrscheinlichkeit und diskreten Zufallsvariablen sind hier hilfreich für ein besseres Verständnis.
Bernoulli-Verteilung
Bevor wir mit der Binomialverteilung loslegen, sehen wir uns kurz die Bernoulli-Verteilung an.
Ein Bernoulli-Experiment ist ein zufälliges Experiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die als „Erfolg“ und „Misserfolg“ bezeichnet werden. Erfolg und Misserfolg könnten zum Beispiel „Kopf“ und „Zahl“ bei einem Münzwurf, „Bestanden“ und „Nicht bestanden“ bei einer Prüfung oder „6“ und „keine 6“ bei einem Würfel sein.
p … Erfolgswahrscheinlichkeit
1-p = q … Misserfolgswahrscheinlichkeit
Wichtig für die Bernoulli-Verteilung ist, dass wir den Versuch nur einmal durchführen. Wir werfen die Münze oder den Würfel nur ein einziges Mal.
Binomialverteilung
Wenn wir ein Bernoulli-Experiment mehrmals durchführen, z. B. das mehrmalige Werfen einer Münze oder eines Würfels, sprechen wir von einer Binomialverteilung. Diese diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht einem Bernoulli-Experiment, das n-mal wiederholt wird.
Die Formel für die Binomialverteilung lautet:
$$P(X \leq k) = {n \choose k}p^{k} (1-p)^{n-k}$$
Dabei definieren die Parameter n und p die Verteilung, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.
Sieht man irgendwo geschrieben \(X \sim Bin(n,p)\), liest man das als „X folgt einer Binomialverteilung mit Parametern n und p“.
Anstelle von k wird auch häufig ein kleines x verwendet. Klein x bzw. k stellt die Anzahl der Erfolge dar, also was ihr in der jeweiligen Aufgabe berechnen wollt.
Voraussetzungen
Wir verwenden die Binomialverteilung also, wenn wir nur 2 mögliche Ergebnisse haben – Erfolg und Misserfolg. Außerdem muss es sich um „Ziehen mit Zurücklegen“ handeln. Anders ausgedrückt bedeutet das: Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss immer gleichbleiben. Zudem muss die Anzahl der Versuche feststehen und die einzelnen Versuche müssen unabhängig voneinander sein.
Herleitung der Formel
Wir wollen die Formel für die Binomialverteilung anhand eines kurzen Beispiels herleiten.
Ein Schütze hat immer eine Trefferquote von 70 % und er schießt 3-mal auf eine Zielscheibe.
Wir gehen in diesem Beispiel davon aus, dass jeder Schuss unabhängig von den Schüssen davor ist. D.h. der Schütze lässt sich nicht davon beeinflussen, ob seine vorherigen Schüsse getroffen haben oder nicht. Stellen wir das kurz als Baumdiagramm dar.
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass der Schütze genau 2-mal die Scheibe trifft. Wenn wir den Baum betrachten, tritt dieses Ereignis entlang der 3 markierten Pfade ein. In jedem dieser Pfade trifft er genau 2-mal und verschießt 1-mal. Wenn wir den ersten dieser Pfade entlanggehen und die Wahrscheinlichkeiten notieren, kommen wir auf \(0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3\). Das können wir auch mit Potenzen darstellen
$$0.7^2 * 0.3^1$$
Jetzt hatten wir aber nicht nur eine Möglichkeit, 2-mal zu treffen, sondern es gab insgesamt 3 Fälle, in denen das vorkam. Das bedeutet, wir können die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer so berechnen.
$$3 * 0.7^2 * 0.3^1$$
0.7 entspricht in unserem Beispiel der Erfolgswahrscheinlichkeit p. 0.3 ist die Gegenwahrscheinlichkeit 1-p. Die 2 ist die Anzahl der Erfolge k (= Treffer). Die 1 ist die Anzahl der Misserfolge. Diese können wir berechnen, indem wir die Gesamtanzahl der Versuche n minus die Anzahl der Erfolge k rechnen. Wie viele Möglichkeiten es gibt, bei 3 Schüssen 2-mal zu treffen, kann man mit dem Binomialkoeffizienten \({3 choose 2}\) ausrechnen. Wenn ihr den Beitrag zur Kombinatorik bereits gelesen habt, wisst ihr das schon.
Alles zusammen ergibt die richtige Formel der Binomialverteilung.
$$P(X = 2) = {3 \choose 2}0.7^{2} (0.3)^{1}$$
$$P(X = k) = {n \choose k}p^{k} (1-p)^{n-k}$$
Erwartungswert und Varianz
Die Formeln für Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung sind:
$$\mathbb{E}(X) = np \qquad \mathbb{V}ar(X) = np(1-p)$$
Wie man Erwartungswert und Varianz berechnet, seht ihr im Beitrag zu Binomialverteilung – Berechnung per Hand.