Kombinatorik – Produktregel

Kombinatorik wird häufig als die Kunst des Zählens bezeichnet und beschäftigt sich mit der Anzahl der Möglichkeiten, wie man Elemente aus einer gegebenen Grundmenge auswählen oder anordnen kann. Sie ist eine wichtige Grundlage für viele Bereiche der Mathematik, Informatik und Statistik.

Produktregel

Die Produktregel ist ein grundlegendes Konzept der Kombinatorik und wird auch als allgemeines Zählprinzip bezeichnet.

Im Wesentlichen besagt die Produktregel, dass die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen von zwei oder mehr unabhängigen Ereignissen gleich dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten für jedes Ereignis einzeln ist.

Einfacher ausgedrückt heißt das: Wenn wir k Entscheidungen treffen und für jede Entscheidung n Möglichkeiten haben, müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten jeder Entscheidung miteinander multiplizieren, um die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen bestimmen zu können.

Als Formel ausgedrückt, bekommt man alle möglichen Kombinationen von k Ereignissen mit jeweils n Möglichkeiten wie folgt:

$$n_1 \cdot n_2 \cdot …\cdot n_k$$

Beispiel:

Angenommen, du besuchst regelmäßig die Mensa und hast jeden Tag die Wahl zwischen 3 verschiedenen Vorspeisen, 6 verschiedenen Hauptgerichten, und 4 verschiedenen Desserts.

3 Vorspeisen

6 Hauptgerichte

4 Desserts

Wie viele Mahlzeiten (= Kombinationen) kannst du zusammenstellen?

$$3 \cdot 6 \cdot 4 = 72$$

Durch die Anwendung der Produktregel ergibt sich eine Gesamtzahl von 72 möglichen Gerichten, die du wählen könntest.