Laplace Wahrscheinlichkeit
In diesem Beitrag lernst du alles Wichtige zur Laplace-Wahrscheinlichkeit:
- Wie lautet die Formel?
- Wann darf man sie anwenden?
- Wie funktioniert die Anwendung anhand eines dreifachen Münzwurfs?
- Welche Rolle spielt die Kombinatorik?
- Wie du mit Abzählen, Binomialkoeffizienten und der Gegenwahrscheinlichkeit zum Ergebnis kommst.
Sieh dir auch gerne das entsprechende Video dazu an:
Vorwissen zur Kombinatorik bereits zu kennen, hilft euch hier sicher weiter.
Formel
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt und wird auch als klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff bezeichnet.
Die Formel lautet:
$$ P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} $$oder kurz gesagt: günstige durch mögliche.
Man kann die Formel auch folgendermaßen schreiben:
$$ P(A) = \frac{|\text{A}|}{|\Omega|} $$Dabei steht \(|A|\) für die Mächtigkeit von A. Das bedeutet die Anzahl aller Elemente von A. \( |\Omega| \) steht für die Anzahl aller Elemente des Ereignisraums, somit ist die Anzahl aller möglichen Elemente gemeint.
Um die Wahrscheinlichkeit nach Laplace anwenden zu können, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
- Jedes Element muss mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten.
- Der Ereignisraum muss endlich sein.
Haben die Elemente also unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, dürft ihr die Wahrscheinlichkeit nach Laplace nicht anwenden. Und es muss sich natürlich um eine endliche Menge handeln, da wir ja durch die Anzahl aller möglichen Fälle dividieren müssen.
Intuitive Anwendung
Ihr verwendet die Wahrscheinlichkeit nach Laplace häufig intuitiv. Wenn wir uns einen Würfel ansehen, dann wisst ihr automatisch, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, 1/6 beträgt. Das kann man auch ganz einfach mit der Formel herleiten. Unser Ereignis \(A\) wäre also, eine 6 zu werfen:
Ein Würfel hat die Zahlen von 1 bis 6. Unser gesuchtes Ereignis, die Zahl 6, kommt auf einem gängigen Würfel genau 1-mal vor und wir haben 6 Zahlen insgesamt. Somit ist die Wahrscheinlichkeit mit günstige durch mögliche also 1 durch 6.
Definieren wir nun ein zweites Ereignis \(B\). \(B\) steht dafür, eine gerade Zahl zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit für \(B\) zu berechnen, funktioniert genauso. Wir haben mit \(\text{2, 4 und 6}\) genau 3 gerade Zahlen. Der Würfel hat wieder 6 Zahlen insgesamt. Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit günstige durch mögliche \(\frac{3}{6}\) bzw.\(\frac{1}{2}\).
$$ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$Wir gehen hierbei von einem fairen Würfel aus. Das heißt, alle Zahlen treten mit derselben Wahrscheinlichkeit auf und somit dürfen wir die Wahrscheinlichkeit nach Laplace verwenden.
Beispiel Münzwurf:
Natürlich können solche Aufgaben auch etwas anspruchsvoller sein. Als Nächstes sehen wir uns die Laplace-Wahrscheinlichkeit anhand des dreimaligen Werfens einer Münze an. Wir werfen eine Münze 3-mal und wollen die Wahrscheinlichkeiten von folgenden Ereignissen bestimmen.
a) Es tritt genau 1-mal Kopf ein.
b) Es tritt mindestens 2-mal Kopf ein.
c) Es tritt höchstens 2-mal Zahl ein.
K steht hierbei für Kopf und Z für Zahl:
Wenn ihr so eine Aufgabe lösen wollt, ist es am einfachsten, wenn ihr zuerst alle möglichen Ereignisse bestimmt. Wir können dafür zum Beispiel den Ereignisraum aufschreiben. Wenn wir dreimal eine Münze werfen, kann zum Beispiel dreimal Kopf vorkommen: \(\text{(K,K,K)}\)
Es kann auch 2-mal Kopf und 1-mal Zahl auftreten. Wichtig ist hier, dass ich die Zahl beim ersten: \(\text{(Z,K,K)}\), beim zweiten: \(\text{(K,Z,K)}\) oder erst beim dritten Mal: \(\text{(K,K,Z)}\) werfen kann. Das sind also drei verschiedene Ereignisse, die wir berücksichtigen müssen.
Dann kann natürlich auch 1 Mal Kopf in drei verschiedenen Varianten auftreten: \(\text{(K,Z,Z); (Z,K,Z); (Z,Z,K)}\) und schlussendlich haben wir noch 0 Mal Kopf bzw. dreimal Zahl: \(\text{(Z,Z,Z)}\) als letztes Ereignis.
Das bedeutet, wir haben insgesamt \( | \Omega| = \) 8 mögliche Fälle.
Hier noch der vollständige Ereignisraum:
$$ \Omega = \left\{ \begin{array}{cccc} (K,K,K); & (Z,K,K); & (K,Z,K); & (K,K,Z); \\ (Z,Z,Z); & (K,Z,Z); & (Z,K,Z); & (Z,Z,K) \end{array} \right\} $$Dasselbe hättet ihr auch mithilfe von Kombinatorik bestimmen können. In diesem Fall handelt es sich nämlich um Ziehen mit Zurücklegen mit relevanter Reihenfolge. Kopf und Zahl stellen zwei Ausprägungen dar. \(n=2\) und die Münze wird dreimal geworfen. \(k=3\)
$$ | \Omega| = n^k = 2^3 = 8$$
a) Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass genau einmal Kopf geworfen wird. Dafür müssen wir bestimmen, wie oft dieses Ereignis vorkommt. Wenn wir also im Ereignisraum zählen, wie oft in den dreimaligen Würfen genau ein Kopf vorkommt. Wir landen bei 3. \( (K,Z,Z), (Z,K,Z), (Z,Z,K)\)
Man kann auch mit dem Binomialkoeffizienten ausrechnen, wie oft bei 3-maligen Münzwürfen ein Kopf vorkommt.
$$|\text{ein Kopf }| = {n \choose k} = {3 \choose 1} = 3$$
Wir wissen also, wie viele günstige Fälle (3) und wie viele mögliche Fälle vorhanden sind (8). Mit der oben besprochenen Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit bekommen wir:
$$P(\text{ein Kopf }) = \frac{3}{8} = 3.75$$
b) Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens 2-mal Kopf auftritt. Wie zuvor können die günstigen Fälle einfach abgezählt werden. Im Ereignisraum kommen 4 Würfe vor mit mindestens 2 Köpfen. \( (K,K,K), (Z,K,K), (K,Z,K), (K,K,Z)\)
Mindestens 2-mal Kopf in einem dreifachen Würfelwurf bedeutet entweder 2- oder 3-mal Kopf. Mit dieser Überlegung können wir wieder den Binomialkoeffizienten zum Ausrechnen der Anzahl der Würfe heranziehen, in denen mindestens 2-mal Kopf vorkommt.
$$|\text{mehr als 2-mal Kopf}| = {3 \choose 2} + {3 \choose 3} = 4$$
Somit ist unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit
$$P(\text{mehr als 2-mal Kopf}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
c) Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass höchstens 2-mal Zahl auftritt. Im Ereignisraum zählen wir 7 Würfe, die unseren Kriterien entsprechen. (alle außer \((Z,Z,Z)\))
Mithilfe des Binomialkoeffizienten berechnen wir:
$$|\text{höchstens 2-mal Zahl}| = {3 \choose 2} + {3 \choose 1} + {3 \choose 0} = 7$$
Und damit ist die Wahrscheinlichkeit:
$$P(\text{höchstens 2-mal Zahl}) = \frac{7}{8} = 0.875$$
In diesem Fall hättet ihr natürlich auch die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden können. Wir sehen, dass das Gegenteil unseres gesuchten Ereignisses 3-mal Zahl ist und das kommt genau 1-mal vor.
$$P(\text{höchstens 2-mal Zahl}) = 1- P(\text{3-mal Zahl}) = 1- \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$
Laplace Wahrscheinlichkeit
In diesem Beitrag lernst du alles Wichtige zur Laplace-Wahrscheinlichkeit:
- Wie lautet die Formel?
- Wann darf man sie anwenden?
- Wie funktioniert die Anwendung anhand eines dreifachen Münzwurfs?
- Welche Rolle spielt die Kombinatorik?
- Wie du mit Abzählen, Binomialkoeffizienten und der Gegenwahrscheinlichkeit zum Ergebnis kommst.
Sieh dir auch gerne das entsprechende Video dazu an:
Vorwissen zur Kombinatorik bereits zu kennen, hilft euch hier sicher weiter.
Formel
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt und wird auch als klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff bezeichnet.
Die Formel lautet:
$$ P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} $$oder kurz gesagt: günstige durch mögliche.
Man kann die Formel auch folgendermaßen schreiben:
$$ P(A) = \frac{|\text{A}|}{|\Omega|} $$Dabei steht \(|A|\) für die Mächtigkeit von A. Das bedeutet die Anzahl aller Elemente von A. \( |\Omega| \) steht für die Anzahl aller Elemente des Ereignisraums, somit ist die Anzahl aller möglichen Elemente gemeint.
Um die Wahrscheinlichkeit nach Laplace anwenden zu können, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
- Jedes Element muss mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten.
- Der Ereignisraum muss endlich sein.
Haben die Elemente also unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, dürft ihr die Wahrscheinlichkeit nach Laplace nicht anwenden. Und es muss sich natürlich um eine endliche Menge handeln, da wir ja durch die Anzahl aller möglichen Fälle dividieren müssen.
Intuitive Anwendung
Ihr verwendet die Wahrscheinlichkeit nach Laplace häufig intuitiv. Wenn wir uns einen Würfel ansehen, dann wisst ihr automatisch, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, 1/6 beträgt. Das kann man auch ganz einfach mit der Formel herleiten. Unser Ereignis \(A\) wäre also, eine 6 zu werfen:
Ein Würfel hat die Zahlen von 1 bis 6. Unser gesuchtes Ereignis, die Zahl 6, kommt auf einem gängigen Würfel genau 1-mal vor und wir haben 6 Zahlen insgesamt. Somit ist die Wahrscheinlichkeit mit günstige durch mögliche also 1 durch 6.
Definieren wir nun ein zweites Ereignis \(B\). \(B\) steht dafür, eine gerade Zahl zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit für \(B\) zu berechnen, funktioniert genauso. Wir haben mit \(\text{2, 4 und 6}\) genau 3 gerade Zahlen. Der Würfel hat wieder 6 Zahlen insgesamt. Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit günstige durch mögliche \(\frac{3}{6}\) bzw.\(\frac{1}{2}\).
$$ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$Wir gehen hierbei von einem fairen Würfel aus. Das heißt, alle Zahlen treten mit derselben Wahrscheinlichkeit auf und somit dürfen wir die Wahrscheinlichkeit nach Laplace verwenden.
Beispiel Münzwurf:
Natürlich können solche Aufgaben auch etwas anspruchsvoller sein. Als Nächstes sehen wir uns die Laplace-Wahrscheinlichkeit anhand des dreimaligen Werfens einer Münze an. Wir werfen eine Münze 3-mal und wollen die Wahrscheinlichkeiten von folgenden Ereignissen bestimmen.
a) Es tritt genau 1-mal Kopf ein.
b) Es tritt mindestens 2-mal Kopf ein.
c) Es tritt höchstens 2-mal Zahl ein.
K steht hierbei für Kopf und Z für Zahl:
Wenn ihr so eine Aufgabe lösen wollt, ist es am einfachsten, wenn ihr zuerst alle möglichen Ereignisse bestimmt. Wir können dafür zum Beispiel den Ereignisraum aufschreiben. Wenn wir dreimal eine Münze werfen, kann zum Beispiel dreimal Kopf vorkommen: \(\text{(K,K,K)}\)
Es kann auch 2-mal Kopf und 1-mal Zahl auftreten. Wichtig ist hier, dass ich die Zahl beim ersten: \(\text{(Z,K,K)}\), beim zweiten: \(\text{(K,Z,K)}\) oder erst beim dritten Mal: \(\text{(K,K,Z)}\) werfen kann. Das sind also drei verschiedene Ereignisse, die wir berücksichtigen müssen.
Dann kann natürlich auch 1 Mal Kopf in drei verschiedenen Varianten auftreten: \(\text{(K,Z,Z); (Z,K,Z); (Z,Z,K)}\) und schlussendlich haben wir noch 0 Mal Kopf bzw. dreimal Zahl: \(\text{(Z,Z,Z)}\) als letztes Ereignis.
Das bedeutet, wir haben insgesamt \( | \Omega| = \) 8 mögliche Fälle.
Hier noch der vollständige Ereignisraum:
$$ \Omega = \left\{ \begin{array}{cccc} (K,K,K); & (Z,K,K); & (K,Z,K); & (K,K,Z); \\ (Z,Z,Z); & (K,Z,Z); & (Z,K,Z); & (Z,Z,K) \end{array} \right\} $$Dasselbe hättet ihr auch mithilfe von Kombinatorik bestimmen können. In diesem Fall handelt es sich nämlich um Ziehen mit Zurücklegen mit relevanter Reihenfolge. Kopf und Zahl stellen zwei Ausprägungen dar. \(n=2\) und die Münze wird dreimal geworfen. \(k=3\)
$$ | \Omega| = n^k = 2^3 = 8$$
a) Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass genau einmal Kopf geworfen wird. Dafür müssen wir bestimmen, wie oft dieses Ereignis vorkommt. Wenn wir also im Ereignisraum zählen, wie oft in den dreimaligen Würfen genau ein Kopf vorkommt. Wir landen bei 3. \( (K,Z,Z), (Z,K,Z), (Z,Z,K)\)
Man kann auch mit dem Binomialkoeffizienten ausrechnen, wie oft bei 3-maligen Münzwürfen ein Kopf vorkommt.
$$|\text{ein Kopf }| = {n \choose k} = {3 \choose 1} = 3$$
Wir wissen also, wie viele günstige Fälle (3) und wie viele mögliche Fälle vorhanden sind (8). Mit der oben besprochenen Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeit bekommen wir:
$$P(\text{ein Kopf }) = \frac{3}{8} = 3.75$$
b) Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens 2-mal Kopf auftritt. Wie zuvor können die günstigen Fälle einfach abgezählt werden. Im Ereignisraum kommen 4 Würfe vor mit mindestens 2 Köpfen. \( (K,K,K), (Z,K,K), (K,Z,K), (K,K,Z)\)
Mindestens 2-mal Kopf in einem dreifachen Würfelwurf bedeutet entweder 2- oder 3-mal Kopf. Mit dieser Überlegung können wir wieder den Binomialkoeffizienten zum Ausrechnen der Anzahl der Würfe heranziehen, in denen mindestens 2-mal Kopf vorkommt.
$$|\text{mehr als 2-mal Kopf}| = {3 \choose 2} + {3 \choose 3} = 4$$
Somit ist unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit
$$P(\text{mehr als 2-mal Kopf}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
c) Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass höchstens 2-mal Zahl auftritt. Im Ereignisraum zählen wir 7 Würfe, die unseren Kriterien entsprechen. (alle außer \((Z,Z,Z)\))
Mithilfe des Binomialkoeffizienten berechnen wir:
$$|\text{höchstens 2-mal Zahl}| = {3 \choose 2} + {3 \choose 1} + {3 \choose 0} = 7$$
Und damit ist die Wahrscheinlichkeit:
$$P(\text{höchstens 2-mal Zahl}) = \frac{7}{8} = 0.875$$
In diesem Fall hättet ihr natürlich auch die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden können. Wir sehen, dass das Gegenteil unseres gesuchten Ereignisses 3-mal Zahl ist und das kommt genau 1-mal vor.
$$P(\text{höchstens 2-mal Zahl}) = 1- P(\text{3-mal Zahl}) = 1- \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$
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