Mittelwert
In diesem Beitrag geht es um absolutes Grundwissen: das arithmetische Mittel
- Was ist der Mittelwert?
- Berechnung anhand eines Beispiels
- Verhalten bei Ausreißern
Es ist hilfreich, wenn Ihr euch bereits mit Skalenniveaus auskennt.
Was ist der Mittelwert?
Der Mittelwert wird auch als arithmetisches Mittel oder Durchschnitt bezeichnet und ist das wohl gebräuchlichste Lagemaß. Man kann den Durchschnitt erst ab der Intervallskala bestimmen. Von euch hat sicher jeder schon irgendwann einmal einen Durchschnitt berechnet.
Mathematisch schaut die Berechnung so aus:
$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$
Dh. eben einfach, dass alle Werte (\(x_i\)) aufsummiert und dann durch die Anzahl der Werte (n) dividiert werden. Das arithmetische Mittel wird allgemein einheitlich mit \(\bar{x}\), sprich „x quer“, notiert.
Beispiel
Betrachten wir den Mittelwert anhand eines Beispiels.
Stellt euch vor, ihr habt das Alter von zehn Personen gegeben. Für die Bestimmung des Mittelwerts ist das zwar nicht notwendig, aber hier sind die Zahlen der Reihe nach geordnet:
20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 28
Man zählt jetzt also alle Werte zusammen und dividiert durch 10.
$$\begin{align*}\bar{x} &= \frac{20+21+\cdots+26+28}{10}\\ \bar{x} &= \frac{235}{10}\\ \bar{x} &= 23.5\end{align*}$$
Das bedeutet im Schnitt waren die Personen 23.5 Jahre alt. Dieser Mittelwert repräsentiert auch gut unsere Daten.
Verhalten bei Ausreißern
Bei der Anwendung des Mittelwerts muss man jedoch immer berücksichtigen, dass er einen großen Nachteil hat. Es ist nämlich nicht robust gegen Ausreißer.
Das sehen wir anhand eines einfachen Beispiels. Angenommen wir fügen unserer Gruppe noch eine 90-jährige Person hinzu:
20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 28, 90
Der Mittelwert hier sieht wie folgt aus:
$$\begin{align*}\bar{x} &= \frac{20+21+\cdots+28+90}{11}\\ \bar{x} &= \frac{325}{11}\\ \bar{x} &= 29.55\end{align*}$$
Wir haben jetzt also einen Mittelwert von 29.55 Jahren.
Mit Ausnahme unseres Ausreißers sind alle anderen Personen jünger als der eben erhaltene Durchschnitt. Das bedeutet, dass das arithmetische Mittel in diesem Fall die Daten nicht gut widerspiegelt. Der Mittelwert wurde also sehr verschoben, obwohl nur 1 weiterer Wert hinzugefügt wurde.
Der Median wäre übrigens hiervon nicht betroffen.
Mittelwert
In diesem Beitrag geht es um absolutes Grundwissen: das arithmetische Mittel
- Was ist der Mittelwert?
- Berechnung anhand eines Beispiels
- Verhalten bei Ausreißern
Es ist hilfreich, wenn Ihr euch bereits mit Skalenniveaus auskennt.
Was ist der Mittelwert?
Der Mittelwert wird auch als arithmetisches Mittel oder Durchschnitt bezeichnet und ist das wohl gebräuchlichste Lagemaß. Man kann den Durchschnitt erst ab der Intervallskala bestimmen. Von euch hat sicher jeder schon irgendwann einmal einen Durchschnitt berechnet.
Mathematisch schaut die Berechnung so aus:
$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$
Dh. eben einfach, dass alle Werte (\(x_i\)) aufsummiert und dann durch die Anzahl der Werte (n) dividiert werden. Das arithmetische Mittel wird allgemein einheitlich mit \(\bar{x}\), sprich „x quer“, notiert.
Beispiel
Betrachten wir den Mittelwert anhand eines Beispiels.
Stellt euch vor, ihr habt das Alter von zehn Personen gegeben. Für die Bestimmung des Mittelwerts ist das zwar nicht notwendig, aber hier sind die Zahlen der Reihe nach geordnet:
20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 28
Man zählt jetzt also alle Werte zusammen und dividiert durch 10.
$$\begin{align*}\bar{x} &= \frac{20+21+\cdots+26+28}{10}\\ \bar{x} &= \frac{235}{10}\\ \bar{x} &= 23.5\end{align*}$$
Das bedeutet im Schnitt waren die Personen 23.5 Jahre alt. Dieser Mittelwert repräsentiert auch gut unsere Daten.
Verhalten bei Ausreißern
Bei der Anwendung des Mittelwerts muss man jedoch immer berücksichtigen, dass er einen großen Nachteil hat. Es ist nämlich nicht robust gegen Ausreißer.
Das sehen wir anhand eines einfachen Beispiels. Angenommen wir fügen unserer Gruppe noch eine 90-jährige Person hinzu:
20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 28, 90
Der Mittelwert hier sieht wie folgt aus:
$$\begin{align*}\bar{x} &= \frac{20+21+\cdots+28+90}{11}\\ \bar{x} &= \frac{325}{11}\\ \bar{x} &= 29.55\end{align*}$$
Wir haben jetzt also einen Mittelwert von 29.55 Jahren.
Mit Ausnahme unseres Ausreißers sind alle anderen Personen jünger als der eben erhaltene Durchschnitt. Das bedeutet, dass das arithmetische Mittel in diesem Fall die Daten nicht gut widerspiegelt. Der Mittelwert wurde also sehr verschoben, obwohl nur 1 weiterer Wert hinzugefügt wurde.
Der Median wäre übrigens hiervon nicht betroffen.
