Laplace Wahrscheinlichkeit
In diesem Beitrag lernst du alles Wichtige zur Laplace-Wahrscheinlichkeit:
- Wie lautet die Formel?
- Wann darf man sie anwenden?
- Wie funktioniert die Anwendung anhand eines dreifachen Münzwurfs?
- Welche Rolle spielt die Kombinatorik?
- Wie du mit Abzählen, Binomialkoeffizienten und der Gegenwahrscheinlichkeit
zum Ergebnis kommst.
In diesem Beitrag lernst du alles Wichtige zur Laplace-Wahrscheinlichkeit:
- Wie lautet die Formel?
- Wann darf man sie anwenden?
- Wie funktioniert die Anwendung anhand eines dreifachen Münzwurfs?
- Welche Rolle spielt die Kombinatorik?
- Wie du mit Abzählen, Binomialkoeffizienten und der Gegenwahrscheinlichkeit zum Ergebnis kommst.
Formel
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt und wird auch als klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff bezeichnet.
Die Formel lautet:
$$ P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} $$oder kurz gesagt: günstige durch mögliche.
Man kann die Formel auch folgendermaßen schreiben:
$$ P(A) = \frac{|\text{A}|}{|\Omega|} $$Dabei steht \(|A|\) für die Mächtigkeit von A. Das bedeutet die Anzahl aller Elemente von A. \( |\Omega| \) steht für die Anzahl aller Elemente des Ereignisraums, somit ist die Anzahl aller möglichen Elemente gemeint.
Um die Wahrscheinlichkeit nach Laplace anwenden zu können, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
- Jedes Element muss mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten.
- Der Ereignisraum muss endlich sein.
Haben die Elemente also unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, dürft ihr die Wahrscheinlichkeit nach Laplace nicht anwenden. Und es muss sich natürlich um eine endliche Menge handeln, da wir ja durch die Anzahl aller möglichen Fälle dividieren müssen.
Intuitive Anwendung
Ihr verwendet die Wahrscheinlichkeit nach Laplace häufig intuitiv. Wenn wir uns einen Würfel ansehen, dann wisst ihr automatisch, dass die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu werfen 1/6 beträgt. Das kann man auch ganz einfach mit der Formel herleiten. Unser Ereignis \(A\) wäre also, eine 6 zu werfen:
Ein Würfel hat die Zahlen von 1 bis 6. Unser gesuchtes Ereignis, die Zahl 6, kommt auf einem gängigen Würfel genau 1-mal vor und wir haben 6 Zahlen insgesamt. Somit ist die Wahrscheinlichkeit mit günstige durch mögliche also 1 durch 6.
Wenn wir ein zweites Ereignis \(B\) haben, eine gerade Zahl zu werfen, ist es genau dasselbe. Wir haben mit \(\text{2, 4 und 6}\) genau 3 gerade Zahlen. Der Würfel hat wieder 6 Zahlen insgesamt. Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit günstige durch mögliche \(\frac{3}{6}\) bzw.\(\frac{1}{2}\).
$$ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$Wir gehen hierbei von einem fairen Würfel aus. Das heißt alle Zahlen treten mit derselben Wahrscheinlichkeit auf und somit dürfen wir die Wahrscheinlichkeit nach Laplace verwenden.
Beispiel Münzwurf:
Natürlich können solche Aufgaben auch etwas anspruchsvoller sein. Als nächstes sehen wir uns die Laplace Wahrscheinlichkeit anhand des drei-maligen Werfen einer Münze an. Wir werfen eine Münze 3-mal und wollen die Wahrscheinlichkeiten bestimmen, dass
a) genau 1 Mal Kopf eintritt,
b) mindestens 2 Mal Kopf und
c) höchstens 2 Mal Zahl.
K steht hierbei für Kopf und Z für Zahl:
Wenn ihr so eine Aufgabe lösen wollt, ist es am einfachsten, wenn ihr zuerst alle möglichen Ereignisse bestimmt. Wir können dafür zum Beispiel den Ereignisraum aufschreiben. Wenn wir drei-mal eine Münze werfen, kann zum Beispiel 3-mal Kopf vorkommen: \(\text{(K,K,K)}\)
Es kann auch 2-mal Kopf und 1-mal Zahl auftreten. Wichtig ist hier, dass ich die Zahl beim ersten: \(\text{(Z,K,K)}\), beim zweiten: \(\text{(K,Z,K)}\) oder erst beim dritten Mal: \(\text{(K,K,Z)}\) werfen kann. Das sind also drei verschiedene Ereignisse, die wir berücksichtigen müssen.
Dann kann natürlich auch 1 Mal Kopf in drei verschiedenen Varianten auftreten: \(\text{(K,Z,Z); (Z,K,Z); (Z,Z,K)}\) und schlussendlich haben wir noch 0 Mal Kopf bzw. drei Mal Zahl: \(\text{(Z,Z,Z)}\) als letztes Ereignis.
Das bedeutet wir haben insgesamt 8 mögliche Fälle.
Hier noch der vollständige Ereignisraum:
$$ \Omega = \left\{ \begin{array}{cccc} (K,K,K); & (Z,K,K); & (K,Z,K); & (K,K,Z); \\ (Z,Z,Z); & (K,Z,Z); & (Z,K,Z); & (Z,Z,K) \end{array} \right\} $$