Boxplot

Dieser Beitrag erklärt den Boxplot. Einen detaillierten Beitrag zum Zeichnen eines Boxplots findet ihr hier.

• Erklärung und Anwendung
• Interpretation
• Ausreißer
• Gruppenvergleiche

Um Boxplots gut zu verstehen, solltet ihr vorab unbedingt über Quantile Bescheid wissen. Außerdem ist es hilfreich, wenn ihr auch schon den Interquartilsdistanz und die Spannweite kennt.

Erklärung

Boxplots sind grafische Darstellungen mehrerer Lage- und Streuungsmaße. Sie dienen dazu, sich einen schnellen Überblick über die Daten zu verschaffen.
Sie können bestimmt werden, sobald Daten auf der Ordinalskala oder höher organisiert sind und werden oft auch als Kastendiagramme oder Kastengrafiken bezeichnet. Man kann bei Boxplots die Quartile, die Interquartilsdistanz und die Spannweite ablesen. Sie dienen häufig dem Vergleich mehrerer Gruppen und bei Boxplots lassen sich Ausreißer einfach darstellen.

Was kann man aus einem Boxplot herauslesen?

Wir gehen zuerst auf die Lagemaße ein, die in einem Boxplot enthalten sind. Ein Boxplot zeigt 5 wichtige Werte:

Das Minimum der Daten, das 1. Quartil, den Median aka. 2. Quartil, das 3. Quartil und das Maximum der Daten.

Wie man sieht, befinden sich Minimum und Maximum an den Enden des Boxplots. Die Box beginnt beim ersten Quartil und endet beim dritten Quartil. Der Stich, der die Box in zwei Teile teilt, markiert den Median.

Durch diese Lagemaße erhalten wir auch direkt zwei Streuungsmaße, die man am Boxplot einfach ablesen kann. Und zwar die Differenz von Q1 zu Q3, welche wir als Interquartilsabstand kennen und die Differenz von Minimum zu Maximum, welche die Spannweite darstellt.

Die beiden Linien außerhalb der Box werden in der Regel als Whiskers bezeichnet.

Dadurch, dass die Box die Quartile zeigt, werden die Daten automatisch in 4 gleich große Teilstücke zu je 25% unterteilt. Egal wie lang oder kurz so ein Abschnitt ist, es befinden sich 25% der Werte der Stichprobe darin.

Somit lassen sich sehr viele verschiedene Infos aus einem Boxplot ablesen.
Q1 markiert den Anfang der Box und somit wissen wir, dass 25% der Daten unterhalb dieses Werts liegen und 75% oberhalb.
Dasselbe, aber umgekehrt, gilt für das obere Ende der Box. Dieses zeigt uns nun, dass hier 75% der Daten unterhalb und 25% der Daten oberhalb dieses Punktes liegen.
Der Median teilt die Stichprobe in 2 gleich große Hälften.
Die Interquartilsdistanz zeigt uns, wo die mittleren 50% der Daten liegen.

Es ist übrigens egal, ob ein Boxplot liegend oder stehend abgebildet wird und die zweite Dimension, also ob die Box breiter oder schmaler ist, hat auch keine Aussagekraft.

Achtung

Der Boxplot zeigt uns nur eine Zusammenfassung der Daten. Somit wissen wir nicht mehr exakt, wo die einzelnen Datenpunkte liegen. Außerdem wäre es uns nicht möglich, anhand des Boxplots zum Beispiel Mittelwert oder Standardabweichung zu berechnen.

Ausreißer

Darauf aufbauend sehen wir uns das Thema der Ausreißer an.
Als Ausreißer werden die Werte bezeichnet, die das 1.5-fache des Interquartilsabstands vom nächsten Quartil entfernt liegen. Das heißt, man zieht von Q1 das 1.5-fache des Interquartilsabstands ab und addiert bei Q3 diesen Wert dazu, um die Grenzen der Ausreißer zu bekommen.
Alle Werte außerhalb dieses Intervalls sind dann Ausreißer.

Oft gibt es noch die Unterscheidung, dass ein Wert außerhalb des 1,5-fachen des IQAs als milder Ausreißer und ein Wert außerhalb des 3-fachen der Interquartilsabstands als starker Ausreißer bezeichnet wird.

Den Ausreißer markieren wir mit einem Kringel/ Ring. Fürs Zeichnen von einem Boxplot gibt es einen eigenen Beitrag.

Gruppenvergleiche

Abschließend schauen wir uns noch an, warum man mit Boxplots gut Gruppen miteinander vergleichen kann. Mit Boxplots kann man die Unterschiede bei Lage und Streuung mehrerer Gruppen relativ schnell erkennen. Man nennt diese meist gruppierte Boxplots und sie kommen häufig bei der Varianzanalyse bzw. Anova zum Einsatz.

Wir vergleichen hier das Einkommen mehrerer Gruppen miteinander. Die Höhe des Boxplots zeigt uns die Lage der Daten, während die Länge des Boxplots uns Infos zur Streuung gibt.

Wir sehen auf einen Blick, dass die 3. Gruppe im Allgemeinen am besten verdient (weil der Boxplot am höchsten liegt) und die 4. Gruppe am wenigsten (weil dieser Boxplots am weitesten unten liegt). Außerdem erkennen wir, dass es in der 21. Gruppe einen und in der 4. Gruppe drei Ausreißer gibt. Zudem sieht man, dass die Gruppen 1 und 2 mehr oder weniger dieselbe Lage haben, aber die Streuung bei zweiterer deutlich größer ist.
Wie ihr also seht, kann man durch gruppierte Boxplots sehr schnell die Gemeinsamkeiten und Unterschiede in Lage und Streuung verschiedener Gruppen erkennen.